1.正交向量組

直接給定義：歐式空間V的一組非零向量，如果他們倆倆向量正交，則稱是一個正交向量組。

（1）正交向量組 是 線性無關的

（2）n維歐式空間中倆倆正交的非零向量不會超過n個，即n維歐式空間中一個正交向量組最多n個向量

2.正交基

在n維歐式空間中，由n個非零向量組成的正交向量組稱為正交基

3.標準正交基

在n維歐式空間中，由n個單位向量組成的正交向量組稱為標準正交基

比如3維歐式空間中，

(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一個正交向量組，因為他們倆倆向量正交

(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一個正交基，因為此正交向量組由n個非零向量組成

(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一個標準正交基，因為每個向量都是單位向量

4.單位矩陣

如果一個矩陣滿足一下幾個條件，它就是一個單位矩陣，記作E或者I:

（1）是一個方陣

（2）主對角線上的元素都是1（主對角線是從左上到右下的對角線）

（3）除了主對角線，其他位置的元素都是0

如下就是一個3階單位矩陣

[[1 0 0]
 [0 1 0]
 [0 0 1]]

4.正交矩陣

The orthogonal matrix，正交矩陣，如果一個矩陣滿足以下幾個條件，則此矩陣就是正交矩陣：

（1）是一個方陣

（2）和自己的轉置矩陣的矩陣乘積 = 單位矩陣E

如果A為一個正交矩陣，則A滿足以下條件：

1) A的轉置矩陣也是正交矩陣

2)（E為單位矩陣）

3) A的各行是單位向量且兩兩正交

4) A的各列是單位向量且兩兩正交

5) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R

6) |A| = 1或-1

7) ，A的轉置矩陣等於A的逆矩陣

5.正交變換

內積定義：u，v的內積=|u||v|cos<u,v>

線上性代數中，正交變換是線性變換的一種，它從實內積空間V對映到V自身，且保證變換前後內積不變。

因為向量的模長與夾角都是用內積定義的，所以正交變換前後一對向量各自的模長和他們的夾角都不變。

特別地：標準正交基經正交變換後仍為標準正交基。

歐式空間V中的正交變換隻包含：

（1）旋轉

（2）反射

（3）旋轉+反射的組合（即瑕旋轉）

正交變換T的性質

原矩陣A:
 [[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]
正交變換T:
 [[2 0 0]
 [0 3 0]
 [0 0 4]]
A經過T變換的矩陣TA:
 [[ 2  4  6]
 [12 15 18]
 [28 32 36]]

可知

[2,0,0]中的2是將A中[1,2,3]向量"拉長"一倍得到[2,4,6]

[0,3,0]中的3是將A中[4,5,6]向量"拉長"三倍得到[12, 15, 18]

[0,0,4]中的4是將A中[7,8,9]向量"拉長"四倍得到[28, 32, 36]

這個是拉伸，如果T中主對角線上的值是小數，則表示將A中對應向量“縮小”一定比例

如果T中主對角線位置外的其他位置上的元素不為0，則表示對A進行一定方向的旋轉

這些概念在影象處理裡面顯得更為重要，可以看看OpenCV中的幾何變換，就是用變換矩陣乘上原矩陣得到目標矩陣。

（end）