本系列筆記為方便日後自己查閱而寫，更多的是個人見解，也算一種學習的複習與總結，望善始善終吧~

馬爾科夫矩陣Markov Matrix

馬爾科夫矩陣Markov Matrix有兩個性質：所有元素大於等於0，所有矩陣的列相加等於1。

這裡性質導致一些有趣的特性：

• 馬爾科夫矩陣Markov Matrix 的冪依然是馬爾科夫矩陣Markov Matrix
• 馬爾科夫矩陣Markov Matrix的其中一個特徵值為1，其他所有的特徵值的絕對值小於1

這二個特性導致了什麼呢？看看我們之前關於矩陣的冪的公式：

不難發現隨著k的增大，特徵值的絕對值小於1的項最終都趨近於0，steady state取決於特徵值為1的那一項。那麼特徵向量呢？
一個例子：

既然我們說其必定存在特徵值為1，那麼觀察：

首先，很容易觀察出，對於馬爾科夫矩陣A，其減去單位矩陣A−I的所有行的和為0，這說明了什麼？說明A−I的row vector線性相關，A−I為奇異矩陣，那麼[1,1,1]在AT的null space中，我們想要的特徵向量在A的null space中。
這裡老師引入一個性質：
A的特徵值等於AT的特徵值，理由是
det(A−λI=0)
⇒det((A−λI)T=0)
⇒det(AT−λI=0)
求解A的零空間的一個向量很簡單，等於求解

很容易求解特徵向量，第一行取.6，第三行取.7，第二行求解即可。

馬爾科夫矩陣的應用

舉例子：

初始狀態為[0, 1000]
U是兩個城市的人口，矩陣A代表的兩個城市之間人口的轉化（即從城市cal到mass或反之的人數比例），明顯最終的穩態取決於矩陣A，由於這裡假設總人口不變，所以矩陣A是馬爾科夫矩陣，於是利用上一課的內容求解通式：

得到結果後，我們可以輕鬆獲得任意時刻的狀態和穩態。

傅立葉級數

由標準正交基組成的投影矩陣

對於任意向量v都可以由標準正交基q1,q2...qn線性表示：
v=x1q1+x2q2+...+xnqn
我們想要得到x1，由於這裡q1,q2...qn彼此正交，我們想到做內積inner prodect可以消去其他項：
qT1v=x1qT1q1

+x2qT1q2+...+xnqT1qn
⇒qT1v=x1qT1q1+0+...+0
寫為如下形式：

那麼x=Q−1v=QTv
⇒xn=qTnv

傅立葉級數

我們知道某個方程：

這個方程和上面的很像，這裡每一項也是正交，區別在於這裡的qn為函式而非向量。
首先是何為函式的正交？正交意味著內積為0，向量的內積我們知道如何額計算：

那麼兩個函式之間呢？函式是一堆連續的點，很自然的想到了積分：

對於傅立葉級數，由於存在週期，所以積分從0到2π
於是可以驗證傅立葉級數中每一項正交，現在，要怎麼求a1，和之前一樣，我們讓等式兩邊對cos(x)做內積：

(cos(x))2的積分為π於是a1=1π∫2π0f(x)cos(x)dx