二十一、特征值和特征向量

1、特征值和特征向量的定義、求解

給出\(n\)階方陣\(A\)，若存在\(n\)維列向量\(x\)和標量\(\lambda\)，有\(Ax=\lambda x\)，則\(x\)是\(A\)的一個特征向量，\(\lambda\)是\(A\)對應於特征向量\(x\)的特征值。

需要註意的是，特征向量一定是非零向量，但特征值可以為0(可以為實數，也可以為虛數、復數)

國內線代教材都有特征值和特征向量的求解方法，這裏不再贅述

2、特征值和特征向量的幾何意義

對於\(Ax=\lambda x\)，\(Ax\)可以視為對向量\(x\)的一個線性變換，則該式表明\(x\)經線性變換\(A\)

對於某矩陣\(A\)而言，設\(C(A)\)空間對應的投影矩陣為\(P\)，則:

• (1)\(\forall x\in C(A)\)，因為\(x\)在該空間內，所以\(Px=x\)，\(x\)是一個特征向量，對應於其的特征值為1

• (2)\(\forall x\perp C(A)\)，因為\(x\)垂直於該空間，所以\(Px=0\)，則\(x\)是一個特征向量，其特征值為0

MIT線性代數公開課學習筆記第21~25課