Balanced Search Tree 平衡搜尋樹

0. 前言

上一篇文章，我們分析了二叉搜尋樹（BST傳送門）。在二叉搜尋樹中，查詢、插入、刪除、ceiling和floor等操作的平均時間效能取決於樹高。在極端情況下（如插入有序序列後），如果樹高h過大，其時間效能將會變得很差。根據樹的特點，通過平衡樹操作可以有效地降低樹的高度，從而達到理想的時間效能。這就是本篇文章的重點——平衡搜尋樹（BSTs）。

1. 2-3搜尋樹

基本概念

2-3樹的是由若干個2-節點(2-node)和3-節點(3-node)構成的樹。其基本特徵是有序對稱(symmetric order)和絕對平衡(perfect balance)。 2-節點

基本操作

查詢操作：對比節點key值，如果大於key，查右子樹；如果小於key，查左子樹；直到等於key或查到空連結。特別地，對於3-節點，如果小於左key，查左子樹；如果大於左key小於右key，查中子樹；如果大於右key，查右子樹；直到等於key或查到為空連結。 插入操作：查詢到該節點key值的合適位置，插入節點。如果該節點變成3-節點，無需操作；如果該節點變成4-節點，則要將中間key值的節點上浮到父節點，以此類推。在上浮過程中，如果root節點成為4-節點，則中間key值節點成為新root節點，左右key值節點分離成為新root節點的子節點。

下圖示意了三種上浮的情況：

效能分析

操作、插入、刪除操作均~clgN，其中係數c取決於實現方法（0< c <1） 分析所得，最壞的情況下是lgN，做好的情況下是log3N（約為0.631 lgN）。

存在問題

現實中，直接實現2-3樹是非常複雜的，主要有以下原因：

• 維持多種型別的節點是冗餘的（至少需要維持2-節點、3-節點和4-節點）
• 需要多種比較才能降低樹高
• 需要增加樹高以分離4-節點
• 分離節點時的情況太多

2. （左傾）紅黑樹

基本概念

上一節分析了2-3樹存在的問題就是實現起來非常複雜，因此引入了（左傾）紅黑樹來表示2-3樹。（這樣的話，實現紅黑樹就相當於實現了2-3樹）

在紅黑樹中，存在以下特徵：（結合下圖）

• 沒有節點連線兩條紅連結
• 每一條從根到空連結的路徑中黑連結的數量的相等的
• 紅連結都是左傾的

當理解紅黑樹的特徵之後，接著看看用紅黑樹來表示2-3樹的方法：將紅黑樹中左傾的紅連結水平放置，那麼紅連結所連線的兩節點就構成了2-3樹的3-節點，其他的構成2-節點。（結合下圖）

基本操作

節點表示Node

由於每一個節點僅有一個連結指向父節點，因此對此連結標色，以區別紅黑連結

private static final boolean RED = true;
private static final boolean BLACK = false;

private class Node{
    Key key;
    Value val;
    Node left, right;
    boolean color; // 父連結的標色
}

private boolean isRed(Node x){
    if (x == null) return false;
    return x.color == RED;
}

左旋left rotation

private Node rotateLeft(Node h){
    assert isRed(h.right);//判斷右連結是否紅，即是否右傾的情況
    Node x = h.right;
    h.right = x.left;
    x.left = h;
    x.color = h.color;
    h.color = RED;
    return x;
}

右旋right rotation

private Node rotateRight(Node h){
    assert isRed(h.left);//判斷左連結是否紅，即是否左傾的情況
    Node x = h.left;
    h.left = x.right;
    x.right = h;
    x.color = h.color;
    h.color = RED;
    return x;
}

跳色color flip

private void flipColors(Node h){
    assert !isRed(h);//判斷
    assert isRed(h.left);
    assert isRed(h.right);
    h.color = RED;
    h.left.color = BLACK;
    h.right.color = BLACK;
}

通過左旋、右旋、跳色等操作，可以保持紅黑樹的對稱有序和絕對平衡的特點。

查詢

基於紅黑樹實現的BSTs的查詢操作與基本的BST的查詢操作是一致的。

public Val get(Key key){
    Node x = root;
    while (x != null){
        int cmp = key.compareTo(x.key);
        if (cmp < 0) x = x.left;
        else if (cmp > 0) x = x.right;
        else return x.val;
    }
    return null;
}

插入

當插入一個節點（節點C）到一棵紅黑樹中，為了保持絕對平衡和對稱有序的特點，存在以下情況：

插入的節本操作可以描述成：（結合下圖）

• 基本的BST插入操作，同時新插入的節點的附連結標成紅色
• 如果需要的話，左右旋轉去平衡4-節點（一個節點同時連線兩個紅連結）
• 通過跳色操作將紅連結往上一層傳遞
• 如果需要的話，旋轉以保持所有的紅連結左傾
• 迴圈操作直到滿足紅黑樹的所有特徵

總結起來，在遞迴的場景下，就是以下三種情況：

• 右連結紅，左連結黑：左旋
• 左連結紅，左子節點的左連結紅：右旋
• 左右連結紅：跳色

private Node put(Node h, Key key, Value val){

    if (h == null) return new Node(key, val, RED);//插入節點（遞迴出口）
    int cmp = key.compareTo(h.key);
    if (cmp < 0) h.left = put(h.left, key, val);
    else if (cmp > 0) h.right = put(h.right, key, val);
    else  h.val = val;

    if (isRed(h.right) && !isRed(h.left)) h = rotateLeft(h);
    if (isRed(h.left) && isRed(h.left.left)) h = rotateRight(h);
    if (isRed(h.left) && isRed(h.right)) flipColors(h);

    return h;
}

效能分析

通過紅黑樹實現的BST，其樹高在通常情況下 ~lgN，在最壞的情況下不超過 ~2lgN。

應用

JAVA:java.util.TreeMap ,java.util.TreeSet等資料結構 C++ STL：map, mutilmap, mutilset等資料結構 linux核心

3. B樹

基本概念

B樹是2-3樹的泛化：在B樹中，每個節點允許有M-1個子節點（子連結）。（M的取值視實際情況而定） B樹的特徵如下：（結合下圖）

• 跟節點至少有兩個子連結
• 其他節點至少有M/2個子連結
• 外部節點包含內部節點的key（葉節點就是外部節點）
• 內部節點包含每個外部節點的首個key（用於索引）

基本操作

查詢

• 從根節點開始
• 通過內部節點對比key，確定對應的連結
• 通過連結確定儲存key的外部節點

插入

• 先查詢新key的位置
• 插入
• 如果溢位，則要分離節點，並將首key儲存在上一級的內部節點

應用

B樹被廣泛地應用在各作業系統的檔案系統和資料庫中。如windows的NTFS、Mac的HFS和SQL、ORACLE等各種主流資料庫。