樹的結構，如果不能保持平衡，那麼其搜尋效能會大大打折扣，而本節課介紹了幾種經典的平衡樹，如AVL，2-3-4tree，紅黑樹等等，然後著重講了紅黑樹，接下來就紅黑樹的基本性質，作一些簡短的總結。

   首先，紅黑樹除了具有BST的基本性質外，還額外擁有以下的五大基本性質：

1）每個結點有一個色域，一個結點要麼為黑結點，要麼為紅結點

2）根節點為黑結點

3）每個葉子結點都為黑結點（無鍵值）

4）每個紅結點的父親都為黑結點，即不可能出現兩個紅色結點相連的情況

5）從根節點到任意葉節點的路徑中的黑色結點數目相等，這個數目也稱為黑高度

由以上5點性質，可以保證紅黑樹的高度為O（lgn），證明如下：

將紅黑樹的所有紅結點，都與其父節點（由性質四得其父節點必定為黑）合併，可以得到一顆2-3-4 tree（即每個結點的子節點數目為2~4個），由資料結構知識可得，原紅黑樹的葉子結點個數為帶鍵值結點個數n+1，假設整棵樹高度為h，那麼葉子結點數應為h^2~h^4,因此有h^2<=n+1<=h^4,即此時樹高度最高也只有log n+1，即樹的黑高度為log n+1,根據性質3，樹最高情況也不過是紅黑相間的時候，因此其高度最高只有2log n+1 ，即樹的高度為O（lgn）。

紅黑樹的查詢操作和普通BST一樣，而刪除和插入操作則相對複雜，因為我們要保證紅黑樹的5大性質，為什麼需要保證這五大性質呢？因為這五大性質是紅黑樹為平衡樹的保證，能夠保證紅黑樹的高度為Olgn，這樣紅黑樹的基本操作（刪，插，查）都可以保證在Olgn的時間複雜度內完成。

接下來簡單介紹一下插入操作是如何完成的,刪除操作思路類似:

插入操作的原理就是插入一個紅結點，然後通過向上重染色和旋轉的方式維持紅黑樹的性質

這裡有三種情況

case1  直線型 且祖父結點為黑，父節點和父親兄弟結點為紅 將祖父結點的黑傳遞到兩個紅子節點   每次向上傳      遞2個結點，樹高度2lgn 所以操作為O（lgn）
case2  zigzag Z型 父親兄弟結點為黑 旋轉為case3   O（1）的旋轉
case3  zigzig直線型 旋轉

由以上三種情況可得，插入的時間複雜度為重染色的Olgn+不超過3次的O(1)的旋轉操作

這裡值得一提的是，在實際的運用中，雖然向上重染色理論上花費的時間多於旋轉，但是當多個使用者併發查詢訪問紅黑樹的時候，重染色並不會影響查詢，因為使用者並不關心每個結點的顏色，但是旋轉需要鎖定該子樹及其結點，可能會影響併發查詢的操作。

最後，就AVL和紅黑樹做一下比較，就平衡程度而言，AVL是追求的絕對平衡，任意葉子結點的深度不會多於其他葉子結點深度+1，而紅黑樹只要求區域性平衡，其紅黑性保證了其平衡性，因此在維護平衡方面，紅黑樹只需要不超過3次旋轉即可，這一點是AVL樹所做不到的，但查詢方面，由於AVL是絕對平衡，因此效率會略高於紅黑樹，實際應用中這一點並不明顯，就統計效能而言，紅黑樹會優於AVL，而C++ STL中的set、multiset、map、multimap等，都是紅黑樹的一種變體。

值得一提的是，平衡樹都是動態的資料結構，其優勢在於動態操作下，也能保持優越的查詢效率，如果是靜態資料，那麼使用hash表效率會更高一些。