敲黑板，敲黑板 。特徵向量與特徵值在很多地方都有應用，這一將開始講這一部分的內容，也是線性代數裡面很重要的一部分知識了。

這一講的主要內容：

• 特徵值、特徵向量的概念
• 特徵值與特徵向量的計算方法

特徵向量、特徵值的概念

對於矩陣 $A$ 和向量 $x$ ， 有線性變換： $Ax$, 如果有 $\lambda$ 使得 $Ax = \lambda x$成立，則 $\lambda$ 是矩陣的特徵值， 向量 $x$ 稱為矩陣 $A$ 對應於 $\lambda$的特徵向量，如果直觀的理解就是 通過 $A$ 對向量 $x$ 的變換 與 $x$ 平行，也就是 $Ax$ 平行於 $x$

• $\lambda = 1$ 對應的特徵向量是 $x = \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$。
• $\lambda=-1$ 對應的特徵向量是 $\begin{pmatrix} -1\\ 1 \end{pmatrix}$。

這裡的例子主要是對上面的概念有一個瞭解

如何計算特徵向量和特徵值

也就是如何解 $Ax = \lambda x$，移項之後可得： $(A-\lambda I) x= 0$

觀察上面的式子，根據之前的齊次方程組的解的特徵，我們可以得知，上式有非零解的條件就是 $A-\lambda I$ 是奇異矩陣，也就是它的行列式的值等於零。

舉例來說看這個計算過程，假定矩陣 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$。也就是： $det\enspace (A-\lambda I) = \begin{vmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \\ \end{vmatrix}= 0$ 計算可得兩個 $\lambda$ 值分別是 2， 4.計算特徵向量，可得：

• $\lambda =2$特徵向量是 $\begin{pmatrix} -1\\ 1 \end{pmatrix}$
• $\lambda = 4$ 特徵向量是 $\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$

這裡的計算過程不是重點，如果我們將這個例子跟上面的例子對比一下，其實很有特點，都是對稱矩陣，並且區別僅僅是對角線上的元素同時加了3，這個改變使得特徵值也同時增加了3， 麼有改變特徵向量。證明過程如下： 對於之前，有： $Ax = \lambda x$成立。 對角線元素同時增加一個數，以3為例：也就是 $(A+3I)x$, 化簡的： $Ax + 3x$ 這裡使用 $\lambda x$替換，得到： $(\lambda + 3)x$ 而這個形式也就是求特徵向量的形式，只不過表示特徵值由 $\lambda$ 變成了 $\lambda + 3$.

同時，我們可以通過類似的方式得到兩個結論： 對於矩陣 $A$ 的特徵值分別是 $\lambda_{1}、\lambda_{2}、\lambda_{3}...\lambda_{n}$，對角巷元素分別表示為： $a_{11}、a_{22}...a_{nn}$ 可以得到：

• $\lambda_{1} + \lambda_{2}+...+\lambda_{n} = a_{11} + a_{22} +...+a_{nn}$
• $det \enspace A = \lambda_{1} \lambda_{2}..\lambda_{n}$

更具體的內容在下一講中。

以上~