本講的主要內容：

• 四種子空間的概念以及維數、基

四種基本子空間

首先了解四種基本子空間是什麼：

• 列空間（column space），簡記為 $C(A)$， 由矩陣的列向量生成的空間
• 零空間（null space），簡記為 $N(A)$， 方程$Ax=0$ 的解向量生成的空間
• 行空間（row space），簡記為 $C(A^{T})$（注意這裡的是矩陣的轉置），矩陣的行向量生成的空間
• 左零空間（the null space of $A^{T}$），簡記為$N(A^{T})$，也就是矩陣轉置之後的零空間

接下來討論這四種子空間所屬的空間： 對於一個矩陣$A$

• $N(A)$屬於 $\mathbb{R}^{n}$
• $C(A)$ 屬於$\mathbb{R}^{m}$
• $C(A^{T})$屬於$\mathbb{R}^{n}$
• $N(A^{T})$屬於$\mathbb{R}^{m}$

這裡注意屬於的意思也就是這些空間均是後面空間的子空間。

接下來討論這幾種子空間的維數： 首先來看 $C(A)$ 和 $N(A)$ 列空間和行空間在之前已經進行過討論，這兩個空間的維數的和是矩陣的列空間的數目，也就是$n$:

• $d$
  imC(A)=rdim \space C(A) = r
• $dim \space N(A) = n-r$

而對與另兩個，也就是相當於將矩陣轉置之後再進行考慮，因為矩陣的轉置不改變矩陣的秩，所以結論如下：

• $dim \enspace C(A^{T}) = r$
• $dim \enspace N(A^{T}) = m-r$

這裡還是要理解清楚空間的維數是什麼概念（空間的基所含向量的個數），不要搞混了

總結一下上面的兩個結論：

${\mathbb{R}}^n\{\begin{array}{c}C\left(A^T\right)dim=r\\ N\left(A\right)\end{array}$

注意不要搞混。

這一講的最後還提到了一個問題，那就是將所有的 $3 \times 3$ 的矩陣看作向量，由這些 “向量” 生成空間 ，我們可以得到這個空間的一組基為： $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$

其實就相當於將我們之前的向量拓展為矩陣，將 $\mathbb{R}^{n}$ 延申到 $\mathbb{R}^{n\times n}$,接下來的課程裡還會具體講到。

以上~