本講的主要內容：

• 回顧向量空間以及子空間的知識點
• 使用線性方程組的思想看待列空間問題
• 零空間的概念

向量空間以及子空間

這裡主要是對之前的知識的一點回顧，有一點新問題是對於子空間，交以及並是否仍然是子空間？ 這裡以三維空間 $R^{3}$ 為例： 取 $P$ 為三維空間中過原點的一個平面（plane） ，取 $L$ 為三維空間中過原點的一條直線，則根據向量空間以及子空間的定義，可以得知 $P$ 和 $L$ 都是三維空間的子空間，那麼有： $P\bigcup L$ 非子空間，而 $P\bigcap L$ 是子空間，很好理解，如果在 $P$ 和 $L$ 中各取一個向量，則它們的向量和不一定在並集之內，而交集則是兩個向量的肯定共同屬於 $P$

矩陣的列空間（Column Space）

在之前的一講中我們知道將矩陣 $A$ 看作是多個列向量，則這些列向量的所有線性組合就組成了列空間（column space 簡記為 $C(A)$），這裡老師使用的例子： $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 3\\ 3 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

零空間（Null Space）

接下來是一個新的概念：零空間（null space 簡記為：$N(A)$），其實是上面的方程組的一種情況，也就是考慮 $Ax=0$ 的解，方程的所有解向量構成了零空間，可以看出零空間是三維空間 $R^{3}$ 的一個子空間，而列空間，則是四維空間 $R^{4}$ 的一個子空間，這個地方注意一下，比如之前的例子：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 3\\ 3 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$

因為第三列其實是前兩列的組合，我們可以很簡單的求解這個方程： $x = c\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1\\ \end{pmatrix}$ 結果是四維空間的一條直線。 接下來，我們來驗證一下 $Ax=0$ 的解總是可以構成子空間，也就是檢驗解滿足向量的加法以及數乘，其實非常簡單： 設任意 $v$，$w$ 都是方程的解，則加法： $\left\{\begin{matrix} Av=0\\ Aw=0 \end{matrix}\right. \Rightarrow A(v+w) = 0$ 數乘就更明顯了。 這一講的內容比較簡單，主要是為下面的內容介紹幾個概念。

以上~