本講的主要內容

• 對角化矩陣的概念以及方法
• 計算矩陣的冪的對角化方法
• 幾個例子

對角化矩陣、計算矩陣的冪

對於一個有 $n$ 個不同特徵向量（其實就是說所有的特徵值均不同）的矩陣 $A$，講它的 $n$ 個特徵向量組成一個矩陣 $S$ ，如果我們計算 $AS$ 可以有如下過程： $AS = A(x_{1}, x_{2}, x_{3}...x_{n}) = (\lambda_{1}x_{1},\lambda_{2}x_{2},....\lambda_{n}x_{n})=(x_{1}, x_{2},x_{3}...x_{n})\begin{pmatrix} \lambda_{1} &... & 0\\ ... & ... & ...\\ 0 &... & \lambda_{n} \end{pmatrix}=S\Lambda$

一定注意上面的式子成立的條件是矩陣有 $n$ 個不同的特徵向量，如果我們將上面的結論繼續做變化： $A = S\Lambda S^{-1}$

那麼現在就可以拿到這個形式很好看的等式了。使用這個等式我們可以簡化很多矩陣的冪的計算，例如計算 $A^{2}$: $A^{2} = (S\Lambda S^{-1})^{2} =S\Lambda S^{-1}S\Lambda S^{-1} = S\Lambda^{2}S^{-1}$

利用對角化計算差分方程

對於矩陣 $A$ ，如果有列向量 $u_{i}$ 總有 $u_{i+1} = Au_{i}$，現在已知 $A, u_{0}$，如何求解 $u_{k}$？ 首先展開這個遞推式： $u_{k} = Au_{k-1}=... = A^{k}u_{0}$ 然後把矩陣對角化（當然，這個問題的前提是矩陣可以對角化），有：$u_{k} = S\Lambda^{k}S^{-1}u_{0}$

計算Fibonacci 數列

這一個例子是上面的一個應用，首先我們知道斐波那契數列是： $0,1,1,2,3,5......$ 也就是： $F(n) = F(n-1) + F(n-2) ,(n>=3)$ 為了使用對角化的知識計算，令 $u_{k} = \begin{pmatrix} F_{k+1}\\ F_{k} \end{pmatrix}$，構造差分方程組： $\left\{\begin{matrix} F(k+2) = F(k+1) + F(k)\\ F(k+1) = F(k+1) \end{matrix}\right.$ 這時候，我們可以得到： $u_{k+1} = Au_{k}，A=\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 1&0 \end{pmatrix}$ 這樣，我們就構造了上面一樣的遞推形式，接下來按照對角化矩陣 $A$ 然後就可以計算 $S\Lambda^{k}C$就可以快速計算了。

用線性代數解決斐波那契數列，感覺真的是…Amazing！，學數學的人真厲害啊。

以上~