第十三講是第一部分（主要是線性代數的基礎知識，四個子空間的關係）的複習課，所以沒有做記錄

本講的主要內容：

• 向量正交的定義以及證明方法
• 子空間正交的概念以及關於行空間、零空間的一些結論

向量正交

兩個向量正交的概念很直觀，就是：兩個向量的夾角為90°
線上性代數中，上述定義可以表述為：
對於向量 $x$ 和 $y$ ，$x^{T}y = 0$

對於上式的證明，我們可以通過勾股定理來理解，這裡要用到一個正規化的概念，其實簡單理解就是向量的長度：公式如下：
$\left \| x \right \|^{2} + \left \| y \right \|^{2} = \left \| x+y \right \|^{2}$

此外，根據向量正交的概念，零向量與所有的向量均正交

子空間正交

接下來將正交的概念推廣到空間，兩個空間 $S$ 、$T$ 正交，表示：
任意 $S$ 中的向量均與任意 $T$ 中的向量正交
所以，不要理解為類似兩個平面垂直是正交之類的。。

下面回到線性方程組，討論行空間以及零空間是否正交？答案是 是的，將 $Ax=0$ 展開（以3個方程為例）：
$\begin{pmatrix} row1\\ row2\\ row3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$

分析上式，可以得知：$row1x=0$ 等等，符合向量正交的條件，以此類推，所有的行空間的向量都與零空間的向量正交，所以結論正確（上面的式子可以多個相加沒有問題，所以行向量的線性組合也符合正交）

對於類似行空間與零空間的一對空間，稱為正互動補空間（complements）

如何“解”無解的方程Ax=b

這個地方的解是指在一些情況下，會因為一些值的影響使得方程組無解，這時候我們就需要對方程進行一些處理，這個操作就是將矩陣 $A$ 變為 $A^{T}A$，之前提到過這個矩陣，我們瞭解到這個矩陣是一個方陣，並且對稱，這時候 $Ax=b$ 也就變為 $A^{T}Ax = A^{T}b$.
關於這個新的矩陣，有一下結論：

• $rank(A^{T}A) = rank(A)$
• $N(A^{T}A) = N(A)$
• $A^{T}A$ 只有在 $N(A)$ 只有零空間的時候才可逆
  上述結論在之後的學習中會具體證明

以上~