1. 四個基本子空間

• 行空間 $C(A^T)$，一個 $R^n$ 的子空間，由所有行的線性組合構成，維數為 $r$
• 列空間 $C(A)$，一個 $R^m$
  R^m 的子空間，由所有列的線性組合構成，維數為 $r$
• 零空間 $N(A)$，一個 $R^n$ 的子空間，由所有 $Ax=0$ 的解的線性組合構成，維數為 $n-r$
• 左零空間 $N(A^T)$，一個 $R^m$ 的子空間，由所有 $A^Ty=0$ 或者 $y^TA=0^T$ 的解的線性組合構成，維數為 $m-r$

2. $R$ 的四個基本子空間

假設 $A$ 的最簡行階梯形式為 $R$，我們可以很容易地從 $R$ 找到四個子空間。

矩陣 $R$ 中有兩個主元，因此其秩為 2。

行空間的維數等於秩，為 2，其中一個基可以取 $R$ 的前兩行。

列空間的維數等於秩，為 2，主元所在的列為第一列和第四列，因此其中一個基為 $R$ 中對應的兩列。

零空間的維數等於 $n-r$，為 3，有三個自由變數，因此對應著三個特解，它們就是零空間的一個基。

左零空間尋找的是 $R$ 的行的線性組合來產生一個零向量。

顯而易見， $y_1$ 和 $y_2$ 必須為 0，而 $y_3$ 可以取任意值。左零空間的一個基為 (0, 0, 1)，維數為 $m-r=1$。

2. $A$ 的四個基本子空間

$R$ 和 $A$ 有著相同的行空間、維數 $r$ 和基。

$EA=R \quad A = E^{-1}R$

由矩陣乘法可知， $R$ 的每一行都是對 $A$ 的行的線性組合，而且 $A$ 的每一行也都是對 $R$ 的行的線性組合。因此，消元只是改變了行，並沒有改變行空間。

$Ax=0$ 當且僅當 $Rx=0$，它們的 $r$ 個主列都是不相關的，它們的列空間維數都為 $r$。

其中 $A$ 的列可以看作是對 $E^{-1}$ 的列的線性組合，因此 $A$ 和 $E^{-1}$ 有著相同的列空間。

$R$ 和 $A$ 有著相同的零空間、維數和基，因為消元並不改變方程組的解。

$A$ 的左零空間維數為 $m-r$。

因為 $R$ 的最後 $m-r$ 行為全零行，也就是 $E$ 中最後 $m-r$ 行對 $A$ 的行的線性組合產生了零向量，因此它們是左零空間的一個基。

獲取更多精彩，請關注「seniusen」!