4.1 線性變換

線性變換：一個將向量空間V對映到向量空間W的對映L，如果對所有V中的向量v以及標量a,b，都有L(av1+bv2)=aL(v1)+bL(v2)，則稱L為V的線性變換(Liner transformation)，記作L:V−>W，如果V和W是相同的，稱L是V的線性運算元(liner operator)。

線性變換的性質：若L為從向量空間V到向量空間W的線性變換，則有：

• L(0)=0
• L(a1v1+a2v2+....+anvn)=a1L(v1)+a2L(v2)+...+anL(vn)
• L(−v)=−L(v)

定義：若L:V−>W為一線性變換，則L的核ker(L)定義為：

ker(L)={v∈V|L(v)=0w}

定義：若L:V−>W為一線性變換，且S為V的一子空間，則S的像(image)定義為：

L(S)={w∈W|w=L(v),v∈S}，V的像L(V)稱為L的值域(range)。

定理：在上面兩個定義的基礎上，ker(L)是V的子空間，L(S)為W的子空間。

4.2 線性變換與矩陣表示

定理：若L為一從Rn到Rm的線性變換，則存在一個m*n的矩陣A，使得每個Rn中的元素x，都有L(x)=Ax。
事實上，A的第j個列向量為：aj=L(ej),j=1,2,...n,ej為標準基
此定理說明線性變換可以由矩陣乘法來計算，並給出了計算矩陣A的方法。

矩陣表示定理：

若E=[v1,v2,...,vn]和F=[u1,u2,...,um]分別為向量空間V和U的有序基，則對每一線性變換L:V->U，存在矩陣Am∗n，使得對任意w∈V，L(w)在F下的表示為：

[L(w)]F=A[w]E(3)
A稱為L相應於E,F的表示矩陣，A的各列：
aj=[L(vj)]F,j=1,2,...,n,vj為E的有序基

定理：若E=[v1,v2,...,vn]和F=[u1,u2,...,um]分別為Rn和Rm的有序基，若L:V->U為線性變換，且A為L相應於E和F的表示矩陣，U=(u1,u2,...,um)，則

a

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