coding A&D：關鍵路徑（AOE網）
阿新 • • 發佈：2018-12-11
1、AOE-網介紹
我們在學習拓撲排序（如果沒學，可以看看這篇部落格：拓撲排序詳解）的時候，已經接觸了什麼是AOV-網，AOV-網是優先考慮頂點的思路，而我們也同樣可以優先考慮邊，這個就是AOE-網的思路。
若在帶權的有向無環圖中，以頂點表示事件，以有向邊表示活動，邊上的權值表示活動的開銷（如該活動持續的時間），則此帶權的有向無環圖稱為AOE網。記住AOE-網只是比AOV-網多了一個邊的權重，而且AOV-網一般是設計一個龐大的工程各個子工程實施的先後順序，而我們的AOE-網就是不僅僅關係整個工程中各個子工程的實施的先後順序，同時也關係整個工程完成最短時間。
因此，通常在AOE網中列出完成預定工程計劃所需要進行的活動，每個活動計劃完成的時間，要發生哪些事件以及這些事件與活動之間的關係，從而可以確定該項工程是否可行，估算工程完成的時間以及確定哪些活動是影響工程進度的關鍵。
AOE-網還有一個特點就是：只有一個起點（入度為0的頂點）和一個終點（出度為0的頂點），並且AOE-網有兩個待研究的問題：
- 完成整個工程需要的時間
- 哪些活動是影響工程進度的關鍵
2、名詞解釋
- 關鍵路徑：AOE-網中，從起點到終點最長的路徑的長度（長度指的是路徑上邊的權重和）
- 關鍵活動：關鍵路徑上的邊
假設起點是vo，則我們稱從v0到vi的最長路徑的長度為vi的最早發生時間，同時，vi的最早發生時間也是所有以vi為尾的弧所表示的活動的最早開始時間，使用e（i）表示活動ai最早發生時間，除此之外，我們還定義了一個活動最遲發生時間，使用l（i）表示，不推遲工期的最晚開工時間。我們把e（i）=l（i）的活動ai稱為關鍵活動
所以，我們現在要求的就是每弧所對應的e（i）和l（i），求這兩個變數的公式是：
e(i)=ve(j)
l(i)=vl(k)-dut(<j,k>)變數的介紹：
首先我們假設活動a（i）是弧<j,k>上的活動，j為弧尾頂點，k為弧頭（有箭頭的一邊），
ve（j）代表的是弧尾j的最早發生時間，
vl（k）代表的是弧頭k的最遲發生時間
dut（<j,k>）代表該活動要持續的時間，既是弧的權值好了，先在我們知道了求e（i）和l（i）就必須先知道各個頂點的ve和vl了，所以下面我們就來求每個頂點ve和vl。其中，我們要知道ve和vl是要分開來求的。
先求ve，從ve（0）=0開始往前推（其實就是從起點開始往後，求各個頂點最早發生時間），公式如下：
ve（j）=Max{ve{i}+dut（<i,j>）};
<i,j>屬於T，j=1,2.....n-1，
其中T是所有以第j個頂點為頭的弧的集合。n為頂點的個數
下面我們繼續求：各個頂點的vl，vl是從vl（n-1）=ve（n-1）往後推進（其實就是從終點開始往前求各個頂點的最遲發生時間，其中終點的ve和vl是相等的）
vl（i）=Min{vl(j)-dut(<i,j>)}
<i,j>屬於S，i=n-2,n-3.....0
其中，S是所有以第i個頂點為尾的弧的集合3、求關鍵路徑的步驟
- 輸入頂點數和邊數，已經各個弧的資訊建立圖
- 從源點v1出發，令ve[0]=0;按照拓撲序列往前求各個頂點的ve。如果得到的拓撲序列個數小於網的頂點數n，說明我們建立的圖有環，無關鍵路徑，直接結束程式
- 從終點vn出發，令vl[n-1]=ve[n-1]，按逆拓撲序列，往後求其他頂點vl值
- 根據各個頂點的ve和vl求每個弧的e（i）和l（i），如果滿足e（i）=l（i），說明是關鍵活動。
4、求關鍵路徑的程式碼實現
- CriticalPath.h檔案的程式碼：
/************************************************************/
/* 程式作者：Willam */
/* 程式完成時間：2017/3/6 */
/* 有任何問題請聯絡：[email protected] */
/************************************************************/
//@儘量寫出完美的程式
#pragma once
//#pragma once是一個比較常用的C/C++雜注，
//只要在標頭檔案的最開始加入這條雜注，
//就能夠保證標頭檔案只被編譯一次。
/*
求解關鍵路徑問題，
必須是有向無環圖才有關鍵路徑
*/
#include<iostream>
#include<stack>
#include<string>
using namespace std;
//表結點
struct ArcNode {
int start; //弧尾的頂點的下標
int end; //弧頭的頂點的下標 ，有箭頭的一方
int weight; //弧的權重
ArcNode * next; //下一條弧
};
//頭結點
struct Vnode {
ArcNode * firstarc; //第一條依附在該該頂點的弧
string data;
};
class Graph_DG {
private:
int vexnum; //頂點個數
int edge; //邊的條數
Vnode * arc; //鄰接表
int *indegree; //各個頂點的入度情況
stack<int> List; //拓撲序列中各個邊的情況
int * ve; //記錄每個頂點的最早發生時間
int * vl; //記錄每個頂點最遲發生時間
public:
Graph_DG(int vexnum, int edge);
~Graph_DG();//解構函式
bool check_edge_value(int, int, int); //檢查邊的資訊是否合法
void createGraph();//建立一個新的圖
void print();//列印圖的鄰接表
bool topological_sort();
bool CriticalPath();
};- CriticalPath.cpp檔案的程式碼
#include"CriticalPath.h"
Graph_DG::Graph_DG(int vexnum, int edge) {
/*
初始化一些基本的資訊，
包括邊和頂點個數，各個頂點入度陣列，鄰接表的等
*/
this->vexnum = vexnum;
this->edge = edge;
this->arc = new Vnode[this->vexnum];
this->indegree = new int[this->vexnum];
this->ve = new int[this->vexnum];
this->vl = new int[this->vexnum];
for (int i = 0; i < this->vexnum; i++) {
this->indegree[i] = 0;
this->ve[i] = 0;
this->arc[i].firstarc = NULL;
this->arc[i].data = "v" + to_string(i + 1);
}
}
//釋放記憶體空間
Graph_DG::~Graph_DG() {
ArcNode * p, *q;
for (int i = 0; i < this->vexnum; i++) {
if (this->arc[i].firstarc) {
p = this->arc[i].firstarc;
while (p) {
q = p->next;
delete p;
p = q;
}
}
}
delete[] this->arc;
delete[] this->indegree;
}
//判斷我們每次輸入的的邊的資訊是否合法
//頂點從1開始編號
bool Graph_DG::check_edge_value(int start, int end,int weight) {
if (start<1 || end<1 || start>vexnum || end>vexnum || weight < 0) {
return false;
}
return true;
}
void Graph_DG::createGraph() {
cout << "請輸入每條邊的起點和終點的編號（頂點從1開始編號）以及每條邊的權重" << endl;
int count = 0; //記錄初始化邊的條數
int start, end, weight;
while (count != this->edge) {
cin >> start >> end >> weight;
while (!check_edge_value(start, end, weight)) {
cout << "輸入的資訊不合法，請重新輸入：" << endl;
cin >> start >> end >> weight;
}
ArcNode * temp = new ArcNode;
temp->start = start-1;
temp->end = end-1;
temp->weight = weight;
temp->next = NULL;
//如果當前頂點的還沒有邊依附時，
++indegree[temp->end]; //對應的弧頭的頂點的入度加1
if (this->arc[start - 1].firstarc == NULL) {
this->arc[start - 1].firstarc = temp;
}
else {
ArcNode * now = this->arc[start - 1].firstarc;
while (now->next) {
now = now->next;
}//找到該連結串列的最後一個結點
now->next = temp;
}
++count;
}
}
void Graph_DG::print() {
cout << "圖的鄰接表為：" << endl;
int count = 0;
while (count != this->vexnum) {
cout << this->arc[count].data << " ";
ArcNode * temp = this->arc[count].firstarc;
while (temp) {
cout << "<"
<< this->arc[temp->start].data
<< ","
<< this->arc[temp->end].data
<< ">="
<< temp->weight
<< " ";
temp = temp->next;
}
cout << "^" << endl;
++count;
}
}
bool Graph_DG::topological_sort() {
cout << "圖的拓撲序列為：" << endl;
stack<int> s; //儲存入度為0的頂點下標
ArcNode * temp;
int i;
for (i = 0; i < this->vexnum; i++) {
if (!indegree[i]) s.push(i); //入度為0 ，則入棧
}
//count用於計算輸出的頂點個數
int count = 0;
while (!s.empty()) {//如果棧為空，退出迴圈
i = s.top(); //i等於棧頂的元素
s.pop();
cout << this->arc[i].data << " ";//輸出拓撲序列
temp = this->arc[i].firstarc;
this->List.push(i);
while (temp) {
if (!(--indegree[temp->end])) {//如果入度減少到為0，則入棧
s.push(temp->end);
}
//同時更新ve的值
if ((ve[i] + temp->weight) > ve[temp->end]) {
ve[temp->end] = ve[i] + temp->weight;
}
temp = temp->next;
}
++count;
}
if (count == this->vexnum) {
cout << endl;
return true;
}
cout << "此圖有環，無拓撲序列" << endl;
return false;//說明這個圖有環
}
bool Graph_DG::CriticalPath() {
if (!this->topological_sort()) {
cout << "此圖有環，無關鍵路徑" << endl;
return false;
}
cout << "圖的關鍵路徑為：" << endl;
//初始化vl的值都為ve[this->vexnum-1]
int k;
for (k = 0; k < this->vexnum; k++) {
vl[k] = ve[this->vexnum - 1];
}
ArcNode * temp;
while (!this->List.empty()) {
k = List.top();//從逆拓撲排序開始，求vl
List.pop();
temp = this->arc[k].firstarc;
while (temp) {
//dut<k,temp->end>，從以第k個頂點為弧尾集合中選擇一個最小的值
//來作為第i個頂點的最遲發生時間
if (vl[k] > (vl[temp->end] - temp->weight)) {
vl[k] = vl[temp->end] - temp->weight;
}
temp = temp->next;
}
}
int ee;
int el;
for (k = 0; k < this->vexnum; k++) {
temp= temp = this->arc[k].firstarc;
while (temp) {
ee = ve[k];
el = vl[temp->end] - temp->weight;
if (ee == el) {//這兩個值相等，說明它為關鍵活動：
cout << this->arc[k].data
<< "----"
<< this->arc[temp->end].data
<< "="
<< temp->weight
<< endl;
}
temp = temp->next;
}
}
}- main.cpp檔案的程式碼
#include"CriticalPath.h"
//檢驗輸入邊數和頂點數的值是否有效，可以自己推算為啥：
//頂點數和邊數的關係是：((Vexnum*(Vexnum - 1)) / 2) < edge
bool check(int Vexnum, int edge) {
if (Vexnum <= 0 || edge <= 0 || ((Vexnum*(Vexnum - 1)) / 2) < edge)
return false;
return true;
}
int main() {
int vexnum; int edge;
cout << "輸入圖的頂點個數和邊的條數：" << endl;
cin >> vexnum >> edge;
while (!check(vexnum, edge)) {
cout << "輸入的數值不合法，請重新輸入" << endl;
cin >> vexnum >> edge;
}
Graph_DG graph(vexnum, edge);
graph.createGraph();
graph.print();
graph.CriticalPath();
system("pause");
return 0;
}構造下圖：
輸入：
9 11
1 2 6
1 3 4
1 4 5
2 5 1
3 5 1
4 6 2
5 7 9
5 8 7
6 8 4
7 9 2
8 9 4輸出：
從輸出可以看出，這個圖有兩條關鍵路徑： 第一條就是：
v1--v2--v5--v7--v9- 1
第二條是：
v1--v2--v5--v8--v9- 1
我們在構造下圖的關鍵路徑：
輸入：
6 8
1 2 3
1 3 2
2 4 2
2 5 3
3 4 4
3 6 3
4 6 2
5 6 1輸出：
從輸出可以看出，這個圖有一條關鍵路徑：
v1--v3--v4--v6- 1
<link href="https://csdnimg.cn/release/phoenix/mdeditor/markdown_views-8cccb36679.css" rel="stylesheet">
</div>
</article>