A.pro讀演算法の11：最短路徑之Dijkstra演算法
此文是獻給OIer看的。講的東西比較基礎（其實我理解Dijkstra花了很長時間）。NOIP2018結束約有1個月了，但是我們仍要繼續前進，為NOIP2019做準備。本節學習Dijkstra的演算法思想和實現，以及優先佇列和堆優化。線段樹也可以做到優化，甚至可能還更快，但是我太弱了不會。。
好了，本蒟蒻A.pro今天給大家帶來的是----A.pro讀演算法の11：最短路徑之Dijkstra演算法。
還有，我是真的菜。
目錄
1.1 引言
1.2 Dijktra的不歸路
1.3 能不能再給力一點呢？
- 1.3.1 鄰接表
- 1.3.2 堆優化
- 1.3.3 Priority_Queue優化
1.1 引言
SPFA演算法被卡掉的機率很大，而Dijkstra是一個相對穩定的演算法。
Dijkstra演算法是指定一個點（原點）到其餘各點的最短路徑，所以叫做“單源最短路徑”。如果最短路徑是什麼意思都不知道的話，來，我來幫你百度一下。
在演算法8中，我們已經初步瞭解了圖是個什麼東東。圖這個東西大概長這樣：
一個圓就是一個頂點，圓旁邊的字母代表序號，溝通兩點之間的線叫做邊。邊加上了箭頭，代表這個邊是有方向的。所以這張圖是有向圖。
1.2 Dijkstra的不歸路
見標滾。（光速逃）
在Dijkstra演算法中，有兩種點。（一種是我看順眼的點，一種是我看不順眼的點！）
換言之，如果點是紅點，則
將不再改變，反之亦然。
然後，還有一個數組dis。這個陣列代表了原點到其餘各個頂點的初始最短路徑。例如A點是原點，如下圖（A=1，B=2，C=3，D=4，E=5，F=6）。
我們以A為原點，來求所有點到A點的最短路徑。
對了！我們剛剛已經建立好dis陣列了，dis裡面的值被稱為最短路徑的“估計值”，dis[i]表示第i號點到源點（A點）的咕計值。什麼是咕計值呢？因為這個值會不斷更新（減小），更新到一定次數就會變成“確定值”
先建立一個鄰接矩陣a，a[i][j]=v表示從i到j這條邊的權值（長度）是v。
最開始，dis初始值除了源點本身都是無窮大。源點本身（從自己到自己）都是0。上圖中dis[2]和dis[3]並不是一開始就是有值的，而是為了讓讀者直觀瞭解什麼是dis陣列而賦值。
dis初始化：
既然是求A點到其餘各點的最短路徑，那麼先找一個離A點近的頂點。通過鄰接矩陣中可知，當前離A點最近的是B點。B點，a[1][2]=1，A點到B點的距離是1，比無窮大要小，所以dis[2]從max變成了1。順便，我們開一個變數minx，記錄離A點最近的點，留著以後會用。
然後搜到C點，map[1][3]=12,距離是12，比原來的dis[3]的∞小，於是dis[3]=12。但是12比dis[2]的1要大，所以minx不更新。
minx=2，也就是說從A到B比從A到C要近。那我們選擇B點（也就是把B當成原點），求所有點到它的最短路徑，加上它到真正的源點（A點）的距離，就是我們要求的最短路。注意，當我們選擇B點進行拓展時，dis[2]的值就已經從咕計值變成了確定值。也就是說，從A點到B點的最短路徑就是dis[2]值。
從B點開始，有哪些出邊呢？通過上圖可知有B->C和B->D兩條路。
從B點開始，搜到C點，a[2][3]=9，原本的dis[3]=12，發現dis[2]+map[2][3]=1+9=10 < dis[3]（12）。我們把dis[3]改為10.這個過程我們叫做鬆弛，A點到C點的路程即dis[3]（12）,通過B點到C點使這條變鬆弛成功。
我們看minx的值會不會動。minx是記錄離A點最近的點，現在是記錄離B點最近的點。是C點。於是更新為minx=3。
與B點相連的還有D點。a[2][4]=3，原本dis[4]=max，所以可以將dis[4]的值鬆弛為4（dis[2]+a[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+a[2][4]，所以dis[4]鬆弛為4）。
a[2][4]=3，a[2][4]<a[2][3]，3<9，minx更新為4。
與B相連的點都搜完了，最後發現minx=4，那我們從D點繼續搜。此時，dis[4]的值已經從咕計值變成了確定值。
接下來對D點的所有出邊（D->C，D->E，D->F）用剛才的方法進行鬆弛。
從D點開始，搜到C點，a[4][3]=3，原本dis[3]=10，a[4][3]+dis[4]=3+4=7，7<dis[3]，將dis[3]鬆弛為7。minx=3。
接著搜E點，a[4][5]=12，原本dis[5]=max，a[4][5]+dis[4]=12+4=16，16<dis[5]，將dis[5]鬆弛為16。a[4][5]=12，a[4][3]=3，12>3，minx不變。minx=3。
接著搜F點，a[4][6]=14，原本dis[6]=max，a[4][6]+dis[4]=14+4=18，18<dis[6]，將dis[6]鬆弛為18。a[4][6]=14，a[4][3]=3，14>3，minx不變。minx=3。
與D相連的點都搜完了，最後發現minx=3，那我們從C點繼續搜。此時，dis[3]的值已經從咕計值變成了確定值。
從C點開始搜，發現只能到達E點。a[3][5]=5，原本dis[5]=16，a[3][5]+dis[5]=7+5=12，12<dis[5]，將dis[5]鬆弛為12。minx=5。
與C相連的點都搜完了，最後發現minx=5，那我們從E點繼續搜。此時，dis[5]的值已經從咕計值變成了確定值。
與E相連的有F點。a[5][6]=3，原本dis[6]=18，a[5][6]+dis[5]=12+3=15，15<dis[6]，將dis[6]鬆弛為15。minx=6。
此時dis[6]的值也變成了確定值。我們發現F點已經沒有出邊了，於是不用處理。到此，dis陣列中所有的值都已經從咕計值變成了確定值。（完結撒花）
最終dis陣列如下，這便是A點到其餘各個頂點的最短路徑。（蒟蒻A.pro表示很神奇）
OK，回顧一下剛才的演算法。演算法的基本思想是：每次找到離原點（上面例子是A點）最近的一個頂點，然後以此頂點為中心進行擴充套件，最後得到原點到其餘所有點的最短路徑。
好的，基本程式碼如下：
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#define inf 1<<20
using namespace std;;
int a[101][101],dis[101],b[101],n,m,minx;
//a陣列儲存圖的資訊，dis儲存原點到其餘各點的初始路程
//b陣列記錄哪些點是已知最短路徑頂點，哪些點是未知最短路徑頂點
//minx記錄與當前點最近的是哪個點
inline void Dijkstra()
{
register int i,j,k;
for(i=1;i<=n-1;i++)//查詢最近點。除了最後一個頂點，其他點都要被搜一次
{
k=inf;
for(j=1;j<=n;j++)//尋找與當前點相連的點
{
if(b[j]==0 && dis[j]<k)//如果是未知最短路徑的點，並且當前點最短路徑小於k
{
k=dis[j];//不斷更新當前點的最短路徑
minx=j;//找到離源點最近的點，然後把編號記錄下來，用於搜尋。
}
}
b[minx]=1;//離原點最近的點從咕計值變為確定值
for(j=1;j<=n;j++)//對當前點的出邊點進行鬆弛操作
{
dis[j]=min(dis[j],dis[minx]+a[minx][j]);
}
}
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
register int i,j;
cin>>n>>m;//輸入n和m，n是頂點個數，m是邊的個數
for(i=1;i<=n;i++)//鄰接矩陣初始化
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(i==j)//自己到自己的最短距離是0
{
a[i][j]=0;
}
else//假設每個點都不相連
{
a[i][j]=inf;
}
}
}
for(i=1;i<=m;i++)//讀入邊的資訊
{
int t1,t2,t3;
cin>>t1>>t2>>t3;
a[t1][t2]=t3;
}
for(i=1;i<=n;i++)//初始化dis陣列，這是原點（假設原點是1）到其他各個頂點的初始路程
{
dis[i]=a[1][i];
}
memset(b,0,sizeof b);//b陣列初始化
b[1]=1;//標記原點是已知最短路徑的頂點，用1表示已知最短路徑的頂點，用0表示未知最短路徑的頂點
//因為dis陣列中的值是最短路的“估計值”，也許這些值要經過改變（鬆弛）。
Dijkstra();
for(i=1;i<=n;i++)//輸出結果
{
cout<<dis[i]<<' ';
}
return 0;
}輸入：
6 9
1 2 1
1 3 12
2 3 9
2 4 3
3 5 5
4 3 3
4 5 12
4 6 14
5 6 3輸出：
0 1 7 4 12 15不乖的小盆友：那萬一是負權邊呢？
蒟蒻A.pro：哪條路的路長會為負......
負權邊這個東西，也不是不存在的。怎麼解決呢？
答案就是：
無法解決。
鼓掌。（逃）
Dijkstra演算法只能解決正權圖上的最短路問題問題。