Dijkstra演算法迪科斯徹演算法

Dijkstra演算法描述為：假設用帶權鄰接矩陣來表示帶權有向圖。首先引進一個輔助向量D，它的每個分量D[i]表示當前所找到的從始點v到每個終點Vi的最短路徑。它的初始狀態為：若兩頂點之間有弧，則D[i]為弧上的權值；否則置D[i]為無窮大。

1. 找到與源點v最近的頂點，並將該頂點併入最終集合S；

2. 根據找到的最近的頂點更新從源點v出發到集合V-S上可達頂點的最短路徑；

3. 重複以上操作。

以前總是認為Dijkstra演算法可以用來求從源點到指定終點的最短路徑，導致總不能抓住演算法的中心思想。現在認為把握Dijkstra的演算法要點為：

1. Dijkstra提出了一個按路徑長度遞增的次序產生最短路徑的演算法；

2. 每次迴圈都可以得到一個從源點到某個頂點的最短路徑，某個即不是確定的一個；

以 帶權有向圖 1為例說明Dijkstra演算法的執行過程：

圖1  帶權有向圖

假設源點為v0，則初始狀態時源點到其它各頂點的距離為：<∽代表無窮大>

由上表可知，與源點v0最近的頂點為v2，距離為10。

將v2加入到最終頂點集合S中。

再根據v2更新從源點到其它頂點的最短距離，即從v0-v2-v3的距離為60<∽，所以將v0到v3的距離更新為60，如下表所示：

由上表可知，與源點v0次近的頂點為v4，距離為30。

將v4加入到最終頂點集合S中；

再根據v4更新從源點到其它頂點的最短距離。即從v0-v4-v3的距離為50<60，所以將v0到v3的距離更新為50；從v0-v4-v5的距離為90<100，所以將v0到v5的距離更新為90。

重複以上操作……

直到最終集合包含了所有的頂點。

以上參考來源：http://www.cppblog.com/eryar/archive/2013/01/01/196897.html

>>應用例子：深大各地點之最短路徑

#include<iostream>

#include<stack>

#include<string>

#defineM 100

#defineN 100

#definev_num 8  //頂點個數

#definee_num 11 //邊數

usingnamespace std;

classMGraph

{

public:

       string name[v_num];           //頂點名稱

       string info[v_num];         //頂點資訊

    int matrix[N][M];      //鄰接矩陣

    int n ;                 //頂點數

    int e ;                 //邊數

public:

       MGraph(int v_n,int e_n){ n = v_n; e =e_n; }

       void help();

       void buildMap();

       void buildInfo();

       void display();

       void findInfo(int v);

       void findDij(int v0,int v);

};

//主選單

voidhelp() 

{

    cout<<"************************************"<<endl;

     cout<<"<1> 查詢景點介紹\n";

     cout<<"<2> 查詢任意兩個景點之間的最佳路線\n";

     cout<<"<other> 退出\n";

    cout<<"************************************"<<endl;

}

//景點距離

voidMGraph::buildMap()

{

       matrix[0][1] = 5;

       matrix[1][3] = 5;

       matrix[1][2] = 8;

       matrix[2][3] = 5;

       matrix[3][4] = 5;

       matrix[4][5] = 4;

       matrix[4][6] = 10;

       matrix[3][6] = 10;

       matrix[5][6] = 10;

       matrix[5][7] = 20;

       matrix[6][7] = 15;

}

//景點名稱及介紹資訊

voidMGraph::buildInfo()

{

       name[0] = "南區";info[0] ="南區有學生宿舍以及新建的信工，機電，醫學院大樓";

       name[1] = "學生活動中心/石頭塢"; info[1] = "各種學生活動的主要場所";

       name[2] = "南圖";info[2] = "南圖書館與北圖書館相對而立，主要存放理工科類書籍";

       name[3] = "教學樓";info[3] ="顧名思義，很多課程都在這上，建築呈之字形，分A,B,C,D四棟";

       name[4] = "北圖";info[4] ="北圖書館文學氣息濃厚，主要存放文科類書籍";

       name[5] = "辦公樓";info[5] ="深圳大學的行政辦公樓";

       name[6] = "科技樓";info[6] ="又被稱為中指樓，深大最具特色的建築，兼具辦公，科研";

       name[7] = "文科樓";info[7] ="文科樓是深大學生主要上課的場所之一";

}

//顯示景點

voidMGraph::display() 

{

     int i;

    cout<<"*******************************選單**********************************"<<endl;

        cout<<"*********************************************************************"<<endl;

     cout<<"<0>返回上層選單       ";

     for(i=0;i<v_num;++i)

     {  

         if((i+2)%3==0)

               {

           cout<<'<'<<i+1<<'>'<<name[i]<<endl;

                     cout<<"---------------------------------------------------------------------"<<endl;

               }

         else

           cout<<'<'<<i+1<<'>'<<name[i]<<"                ";

     }   

        cout<<endl;

    cout<<"*********************************************************************"<<endl<<endl;

}

//查詢景點資訊

voidMGraph::findInfo(int v)

{

       cout<<"-------------------------<"<<name[v]<<">------------------------------"<<endl;

       cout<<endl;

    cout<<info[v]<<endl;

   cout<<"---------------------------------------------------------------------"<<endl;

       cout<<endl<<endl;

}

//最短路徑演算法

voidMGraph::findDij(int v0,int v)   //v0表示源頂點

{

       int *dist=(int *)malloc(sizeof(int)*n);

    int *path=(int *)malloc(sizeof(int)*n);

    int i,j,k;

    bool *visited=(bool*)malloc(sizeof(bool)*n);

    for(i=0;i<n;i++)     //初始化

    {

        if(matrix[v0][i]>0&&i!=v0)

        {

            dist[i]=matrix[v0][i];

            path[i]=v0;     //path記錄最短路徑上從v0到i的前一個頂點

        }

        else

        {

            dist[i]=INT_MAX;    //若i不與v0直接相鄰，則權值置為無窮大

            path[i]=-1;

        }

        visited[i]=false;

        path[v0]=v0;

        dist[v0]=0;

    }

    visited[v0]=true;

    for(i=1;i<n;i++)     //迴圈擴充套件n-1次

    {

        int min=INT_MAX;

        int u;

        for(j=0;j<n;j++)    //尋找未被擴充套件的權值最小的頂點

        {

           if(visited[j]==false&&dist[j]<min)

            {

                min=dist[j];

                u=j;       

            }

        }

        visited[u]=true;

        for(k=0;k<n;k++)   //更新dist陣列的值和路徑的值

        {

           if(visited[k]==false&&matrix[u][k]>0&&min+matrix[u][k]<dist[k])

            {

                dist[k]=min+matrix[u][k];

                path[k]=u;

            }

        }       

    }   

       //輸出最短路線

       cout<<endl<<name[v0]<<"到"<<name[v]<<"的最短路徑是："<<dist[v]<<endl;

       //列印路線

       stack<int> s;

    int u=v;

    while(v!=v0)

    {

        s.push(v);

        v=path[v];

    }

    s.push(v);

       cout<<"具體路線為：";

    while(!s.empty())

    {

        cout<<name[s.top()]<<"";

        s.pop();

    }

       cout<<endl<<endl;

}

//主函式

intmain(int argc, char *argv[])

{

          int i,j,c2;

              char c1;

        MGraph g(v_num,e_num);

        int v0,v;

        for(i=0;i<N;i++)

            for(j=0;j<M;j++)

                g.matrix[i][j]=10000;

              g.buildInfo();

              g.buildMap();

              do

              {

                     help();

                     cout<<"請選擇查詢內容："<<endl;

                     cin>>c1;

                     switch(c1)

                     {

                       case'1':while(1)

                                     {

                                           g.display();

                                           cout<<"請輸入查詢景點編號："<<endl;

                                           cin>>c2;

                                           if(c2==0) break;

                                           g.findInfo(c2-1);

                                     }

                                     break;

                       case'2':while(1)

                                     {

                                           g.display();

                                           cout<<"請依次輸入兩個查詢景點編號(第一個編號小於第二個)："<<endl;

                                           cin>>v0>>v;

                                           if(v0==0||v==0)  break;

                                           g.findDij(v0-1,v-1);

                                     }

                                     break;

                     }

               }while(c1=='1'||c1=='2');

    return 0;

}