1.概率函式

①泊松分佈：

λ表示單位時間（面積或體積等）該事件平均發生次數（到達率）

則p(x=k)表示單位時間（面積或體積等）該事件發生k次的概率。

數字特徵：

易知，根據定義期望為λ，也能求出方差也為λ。

則p(N(t)=k)表示t時間，該事件發生k次的概率。

②指數分佈：

概率密度兩種表達形式：

其中θ=1/λ，λ即到達率

對應分佈函式的兩種表達形式：

期望：

例如你平均每小時接到2通電話，那麼你接到電話的平均間隔為30分鐘。

方差：

③愛爾朗分佈：

愛爾郎分佈與指數分佈一樣多用來表示獨立隨機事件發生的時間間隔。相比於指數分佈，愛爾郎分佈更適用於多個序列過程，或無記憶性假設不顯著的情況下。除非退化為指數分佈，愛爾郎分佈不具有無記憶性，一次對其分析相對困難。一般通過將愛爾郎過程分解為多個指數過程的技巧來對愛爾郎分佈進行分析。

2.泊松分佈、二項分佈、愛爾朗分佈的推導與關係

①二項分佈：

重複n次伯努利實驗，且每次實驗只有兩種相互對立結果，每次實驗相互獨立，這樣的實驗叫做n重伯努利實驗，得到事件發生的次數的分佈叫二項分佈。

概率分佈：

數字特徵：將n重伯努利實驗分解為n個二項分佈易得，期望為np，方差為np(1-p)。

②二項分佈到泊松分佈

考慮對於一段時間（或面積、體積），即單位時間，將其分為n段（n->∞），因為每段對應時間級短，那麼p也應該接近0,。那麼此時事件發生的次數就服從泊松分佈，而原二項分佈的期望，即n*p，就是事件的平均發生次數，即λ=n*p。

注：第二行到第三行，因為n趨於無窮大，那麼n(n-1)...(n-k+1)=n^k

③泊松分佈到指數分佈：

如果下次事件發生間隔為t，那麼等同於t時間內事件發生次數為0，即從泊松分佈推導到指數分佈：

‘

④指數分佈與愛爾郎分佈：

⑤指數分佈無後效性的推導：

無後效性（馬爾科夫性）：

當一個隨機過程在給定現在狀態及所有過去狀態情況下，其未來狀態的條件概率分佈僅依賴於當前狀態，即在現在狀態時，他與過去狀態是條件獨立的，即該過程是馬爾科夫過程，即具有馬爾科夫性質。

3.應用與舉例

①泊松分佈

在實際事例中，當一個事件以固定的平均速率出現時隨機且獨立地出現時，那麼這個時間在單位時間（面積或體積等）內出現的次數或個數近似服從泊松分佈。

如：

某醫院平均每小時出生3個嬰兒；（單位時間）

某公司平均每小時接到3.5個電話；（單位時間）

採用0.05J/m2紫外線照射大腸桿菌時，每個基因組平均產生3個嘧啶二體。（單位基因組）

②指數分佈

指數分佈表示兩次事件（服從泊松分佈）發生間隔為t的概率。

可用來表示：

嬰兒出生的時間間隔；

服從泊松分佈的服務的時間間隔；

③指數分佈的無記憶性：

如果一個隨機變數服從指數分佈，那麼對於s,t>0，有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。

例如：若果某原件壽命為T，已知使用了t小時，那麼它總共使用了s+t小時和其從開始起來使用s小時概率相同。

4.例題

①已知某車站等候人數服從泊松分佈，λ=4.5，求剛好兩個人在候車的概率。

解：該題單位為每個車站，帶入公式已知p（x==2）=4.5^2/2*e^(-4.5)≈0.112

②某醫院平均每小時出生3個嬰兒，則接下來兩個小時沒有嬰兒出生的概率是多少？

解：該題單位為每小時，代入公式p（N(2)==0）=(3*2)^0*e^(-3*2)/2≈0.0025

③某醫院平均每小時出生3個嬰兒，接下來15分鐘有嬰兒出生的概率是多少？

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