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AI理論隨筆-最優化(3)

非齊次方程組AX=bAX=b求解。 可設前r列線性無關。 (A:b)[c11c12......d1c22......d2...d2crr...drdr+1......] (A:b)\underrightarrow{行變換} \begin{bmatrix} c_{11 }& c_{12}&...&...&d_1\\ & c_{22}&...&...&d_2 \\ & &&...&d_2 \\ & &c_{rr}&...&d_r\\ & & & &d_{r+1}\\ & & & &...\\ & & & &... \end {bmatrix}

dr+10d_{r+1}\neq 0,原方程無解 dr+1=0,r=nd_{r+1}=0,r=n時,原方程有唯一解 dr+1=0,r<nd_{r+1}=0,r<n時,原方程有無窮解 其通解為: X=η0+k1ξ1+...+knrξnrX=\eta_0+k_1\xi_1+...+k_{n-r}\xi_{n-r} ξ1ξ2...ξnr\xi_1、\xi_2、...、\xi_{n-r}AX=bAX=b匯出組AX=0AX=0的基礎解,η0\eta_0AX=bAX=b的特解。 以下列方程為例: {x1+x2+x3+x4+x5=42x1+3x2+x3+7x4+4x5=12x2+x3+3x4+4x5=65x1+4x2+x3+5x44x5=21 \left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=4\\ 2x_1+3x_2+x_3+7x_4+4x_5=12\\ x_2+x_3+3x_4+4x_5=6\\ 5x_1+4x_2+x_3+5x_4-4x_5=21 \end{array} \right.
(A:b)=[11111423174120113465415421]r1×(2)+r2r1×(5)+r4[1111140115240113401401] (A:b)=\begin{bmatrix} 1 & 1&1&1&1&4\\ 2& 3&1&7&4 &12\\ 0&1&1&3&4&6\\5&4&1&5&-4&21 \end {bmatrix} \overrightarrow{r_1\times (-2)+r2 \quad\quad r_1\times (-5)+r4} \begin{bmatrix} 1 & 1&1&1&1&4\\ 0& 1&-1&5&2&4\\ 0&1&1&3&4\\0&-1&-4&0&1 \end {bmatrix}