演算法學習--從深度優先搜尋到全排列問題（一）
直接進入主題，關於深度優先搜尋，發源於資料結構圖，起初是用來進行圖的遍歷，經過科研人員長時間的研究和總結，已經運用到實際的生產生活中去，用以解決需要大量重複、排列組合的相關問題。
參考書目：
《演算法導論》、《啊哈！演算法》、《資料結構（李建忠翻譯版）》。
關於基本資料結構圖的相關內容，用於本演算法中的內容，主要是關於虛擬碼中的一些解釋：
1.首先理解鄰接連結串列：對於無向圖而言，G的鄰接連結串列表示千萬不能理解為方向。這幅圖僅僅表示這個結點與其他哪幾個結點相連線。只有對於有向圖，才是有確定方向的。
無向圖
有向圖
2.關於Adj[u]:就是與u相鄰接結點的集合。就是在這個集合內的點，與u都有線相連；
3.u.d 和 u.f 兩個時間戳，本文暫時不討論；
下面給出虛擬碼，再來分析：
DFS(G) for each vertex u ∈ G.V u.code = WHITE u.π = nul time = 0 for each vertex u ∈ G.V if u.color == WHITE DFS-VISIT(G,u) DFS-VISIT(G,u) time = time + 1 u.d = time u.color = GRAY for each v ∈ G:Adj[u] if v.color == WHITE v.π = u DFS-VISIT(G,u) u.color = BLACK time = time + 1 u.f = time
這是原版的虛擬碼，來自《演算法導論》，按照書上的說法，這就是最基本的深度優先演算法。輸入圖可以是有向圖，也可以是無向圖。
下面對虛擬碼進行分析，理解其原理：
//vertex:頂點； //v.π 前驅結點 //WHITE：未被訪問，GARY:已被訪問，BLACK:該結點的所有鄰接點都訪問完 //關於 time 本文都不討論 DFS(G) for each vertex u ∈ G.V //初始化圖的每一個頂點 u.code = WHITE //為每個結點上白色，表示都未被訪問 u.π = NUL //前驅結點均為空 time = 0 for each vertex u ∈ G.V //遍歷每一個結點 if u.color == WHITE //如果這個點未被訪問過 DFS-VISIT(G,u) //開始訪問 DFS-VISIT(G,u) time = time + 1 u.d = time u.color = GRAY //將這個點塗成灰色，表示已被訪問 for each v ∈ G:Adj[u] //遍歷其所有的鄰接點 if v.color == WHITE //若該鄰接點未被訪問 v.π = u //標記其前取電，避免迷路 DFS-VISIT(G,u) //遍歷 u.color = BLACK //該結點的所有鄰接點都訪問完，塗成黑色 time = time + 1 u.f = time
通過這個分析可以知道，在深度優先遍歷中，從一個點出發，開始往相關聯的鄰接點出發，然後再往相關聯的鄰接點出發；若此路不通，則返回前驅結點，再往前驅結點的相關聯的鄰接點。。。然後迴圈往復，由此可以看出遞迴的思想。
對每一個點重複與前面相同的操作，然後找到進入下一個點入口。這是深度優化搜尋的思想。
另外我認為重要的是，對搜尋的資料之間，應當存在必要的聯絡。能夠利用他們的關聯關係進行相關的遍歷。後面有個例子，我將說明如何在同一個陣列元素之間建立聯絡，不斷遍歷的。
那麼總結歸納深度優先搜尋的要點如下：
1.結點之間存在一些聯絡，這是我們遍歷的條件；
2.對每個結點進行的操作相同；
3.能夠找到進入下一個結點的入口；
4.遞迴的邊界應當清楚。
由上述四個要點，回過頭來看虛擬碼：
DFS(G)
for each vertex u ∈ G.V
u.code = WHITE
u.π = nul
time = 0
for each vertex u ∈ G.V //結點之間相互的聯絡，可以進行遍歷； 邊界
if u.color == WHITE //進入下一個結點的入口
DFS-VISIT(G,u) //操作
DFS-VISIT(G,u)
time = time + 1
u.d = time
u.color = GRAY //塗色操作
for each v ∈ G:Adj[u] //結點之間相互的聯絡，可以進行遍歷； 邊界
if v.color == WHITE //進入下一個節點的入口
v.π = u
DFS-VISIT(G,u) //操作
u.color = BLACK
time = time + 1
u.f = time
均能夠找到相適應的語句。
下面看看《啊哈！演算法》提供的例項：
簡而言之題目如下：
1-9個數，全排列。
本題當然能用列舉的方法解決。
但我們對簡單情況，1，2,3 的全排列進行思考和歸納可以發現：
我們得到第一個排列：1,2,3,的過程是，
確定第一個數1，再確定第二個數2，再確定第三個數3；
我們得到第一個排列：1,3,2,的過程是，
確定第一個數1，在確定第二個數3，在確定第三個是2；
等等等等。。。
我們似乎可以得到這樣的過程：
確定一個數{
確定一個數{
確定一個數{
}
}
}
看吧，這也是一個遞迴的過程吧？這樣我們就能暫時認為，這是個遞迴的操作。
我們具體怎麼確定第一個數？第二個數？第三個數呢？
假定我們隨意確定一個數：1
那麼，我們再次確定數時，只能在剩下的2,3中尋找；
假定確定第二個數：2
那麼，我們再次確定數時，只能是3.
到此，我們大概能得出這樣一個方法：
確定一個數{
遍歷（關聯的所有數）{
若（這個數沒被選定）
我可以選擇
}
}
這就是我們要寫函式的雛形。
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現在把這個雛形具體實現，
兩個要點：
一、找到關聯，實現遍歷；
二、選擇一個數；
因為這三個數都存放在陣列中，那我們遍歷的程式碼就可以是：
for(int i=0;i<3;i++){
}那麼如何跟虛擬碼一樣，實現圖的連通關係呢？
利用迴圈巢狀，可以讓線性的陣列結構產生猶如圖般的多邊結構：
for(int i=0;i<3;i++){
for(int j=0;j<3;j++)}
{
{在複雜情況時，迴圈巢狀過多，可以改成遞迴。
現在遍歷語句的模樣已經有了。再實現選擇語句。
有了上面可以參考深度優化搜尋，我們可以獲得靈感：塗色
為選中的數字塗色，在下一次選擇時不選他，而選擇其他未塗色的。
就可以得到這麼幾句程式碼：
if (color[i] == 0) {
color[i] = 1;
}約定0未被訪問，1被訪問；
然後，我們將迴圈巢狀改造成遞迴：
//arry為原資料陣列
dfs(int i,int n){
for (i; i < n; i++) {
if (color[i] == 0) {
color[i] = 1;
dfs(0);
color[i] = 0;
}
}
}我們在這裡實現了，遍歷所有的結點及其鄰接點；以及對他們進行選擇性的訪問。
下面完成所有的細節：
void dfs(int i, int *color, int *arry, int n,int *output,int k) {
if (k == n) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
cout << output[j];
}
cout << endl;
return;
}
//output是輸出容器；
for (i; i < n; i++) {
if (color[i] == 0) {
output[k] = arry[i];
color[i] = 1;
dfs(0, color, arry,n,output,k+1);
color[i] = 0;
}
}
}output[k]儲存資料輸出的樣式；
i總是為0能保證充分的遍歷，每個點都能與其他n-1個點發生聯絡；
k+1讓output能向下走，繼續向後儲存資料；
k作為輸出判據；
如果弄懂了上述虛擬碼的深度優先搜尋過程，全排列這個過程不難理解。
#include<iostream>
using namespace std;
void dfs(int i, int *color, int *arry, int n, int *output, int k);
int main()
{
int i = 0;
int arry[3] = { 1,2,4};
int color[] = { 0,0 ,0};
int output[3];
int cnt = 0;
dfs(i, color, arry, 3, output, 0);
return 0;
}
void dfs(int i, int *color, int *arry, int n,int *output,int k) {
if (k == n) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
cout << output[j];
}
cout << endl;
return;
}
//output是輸出容器；
for (i; i < n; i++) {
if (color[i] == 0) {
output[k] = arry[i];
color[i] = 1;
//cout << i << "sd" << endl;
dfs(0, color, arry,n,output,k+1);
color[i] = 0;
}
}
}
可以進行測試；
結果如下。
做個筆記，方便以後複習。