圖論：尤拉圖與哈密頓圖

圖論最基本的要素就是點和邊，尤拉圖和哈密頓圖是分別關於點和邊的兩種特殊圖的形式。

尤拉圖側重於經過所有的點，哈密頓圖側重於經過所有的邊。

尤拉圖

尤拉路徑：一條路徑在圖G中恰好經過每條邊一次。尤拉通路：通過圖中所有邊的簡單路（其實就是每條邊經過一次）。歐拉回路：閉合的尤拉路。尤拉圖：包含歐拉回路的圖。半尤拉圖：包含尤拉通路但是不含歐拉回路的圖。

接著理解(半)尤拉圖成立的充要條件：尤拉圖： 無向圖G是一個尤拉圖當且僅當G連通且所有頂點的度數為偶。 有向圖G是一個尤拉圖當且僅當G連通且所有頂點的出度等於入度。半尤拉圖： 無向圖G是一個半尤拉圖當且僅當G連通，僅有兩個點度數為奇，其餘所有頂點的度數為偶

理解：理解無向圖就可以對比有向圖，G是尤拉圖與G是若干邊不交的圈的並，相當於從一點出發，經過很多圈，回到這個點，每個點都在圈上，也就經過了所有的點；而如果是若干邊不交的圈的並，就有每個頂點都是偶數度，因為在圈中，前後都有點相連，肯定是偶數。

半尤拉圖對比尤拉圖，一個是通路，一個是迴路，說明尤拉圖多了一個回來的功能，半尤拉圖說明，存在兩個點，這兩點從哪個出發都能經過所有點，但是回不到它自身，於是這兩個點都是奇度頂點，當且僅當，這兩個點連起來或者這兩個點是同一個點時，會變成尤拉圖，而此時，這兩個點的度數都會加1，又變成了偶數度頂點。

哈密頓圖

哈密頓通路：經過所有頂點的路徑（沒有重複點）

哈密頓迴路：經過所有頂點的圈（沒有重複點）

半哈密頓圖：具有哈密頓通路

哈密頓圖：具有哈密頓迴路

哈密頓圖的必要條件與充分條件，哈密頓圖是沒有充要條件的

無向：

哈密頓圖必要條件：

對V的任意非空真子集V1有p(G-v1)<=|V1|

半哈密頓圖必要條件：

對V的任意非空真子集V1有p(G-v1)<=|V1|+1

彼得森圖是非充分條件的反例，

它滿足哈密頓圖必要條件，但是是一個半哈密頓圖。

理解：

對於哈密頓圖的必要條件，如果v1中每個點都不相鄰，則刪除每個點都會產生一個新的連通分支，此時等號成立，如果存在兩個點相鄰，刪除這個兩個點的效果才會產生一個新的連通分支，此時小於號成立。哈密頓圖與半哈密頓圖的對比，半哈密頓圖要求更低一些。

哈密頓圖充分條件1：

任意不相鄰頂點u與v有，u的度數+v的度數>=n

哈密頓圖充分條件2：

任意不相鄰頂點個u有，u的度數>=n/2

充分條件二能推出來充分條件一，主要分析充分條件一，需要藉助無向半哈密頓圖的充分條件。

半哈密頓圖充分條件：

任意不相鄰頂點u與v有，u的度數+v的度數>=n-1

有向：

半哈密頓圖的充分條件：

D是n階競賽圖，則D是半哈密頓圖。

推論：G是n階有向圖，G含有n階競賽圖作為子圖，則G是半哈密頓圖

哈密頓圖的充分條件：

強連通的競賽圖是哈密頓圖。

尋找歐拉回路：

Fleury演算法（避橋法）：

1.    總是走沒有走過的邊

2.    優先選擇非橋邊

定理：G是無向尤拉圖，避橋法終止時得到的簡單通路是歐拉回路

逐步插入迴路法：

1.    每次求出一個簡單迴路

2.    把新求出的迴路插入老迴路

哈密頓迴路：

定理：

完全圖2k+1階完全圖中同時又k條邊不重哈密頓迴路，且k條邊不重的哈密頓迴路含有所有邊。

​