第一部分：鴿巢原理

咕咕咕！！！

然鵝大家還是最熟悉我→

a陣列：but 我也很重要

$：我好像也出現不少次

以上純屬灌水

文章簡敘：鴿巢原理對初賽時的問題求解以及複賽的數論題目都有啟發意義。直接的初賽考察一般在提高組出現。相當於抽屜。

別名：鴿籠原理。狄利克雷抽屜原理。

最簡單的一種形式：有$m+1$只鴿子，$m$個籠子，那麼至少有一個籠子有至少兩隻鴿子。當然，換個角度來說：有$m-1$只鴿子，$m$個籠子，那麼至少有一個籠子是空的。

初級加強：有$m$個籠子，$k*m+1$只鴿子，那麼至少有一個籠子有至少$k+1$只鴿子。

高階加強

：令

• $a_1,a_2,a_3...a_m$

• 為正整數。

• $if$ 我們將

• $a_1+a_2+a_3+...+a_n-n+1$

• 個鴿子放入$n$個籠子裡，$then$，

||第一個籠子至少有$a_1$只鴿子||第二個籠子至少有$a_2$只鴿子||第三個籠子至少有$a_3$只鴿子||…||第$m$個籠子至少有$a_m$只鴿子

鴿巢原理的應用

一位洛谷$oier$要用$12$

周的時間準備$~~CTSC~~$,為了練習，他每天至少要刷一題，因為題目有難度，他每星期刷題無法超過$13$題。請你證明：存在連續的若干天期間，這位$oier$恰好刷了$11$題

開始證明：

1.我們可以令$a_1$表示第一天所刷的題數，$a_2$表示前兩天所刷的題數，$a_3$表示前三天所刷的題數.之後以此類推

2.而題目說，由於每天都要至少刷1題，所以數列

• $a_1,a_2,a_3,a_4,...,a_{84}$

• 嚴格遞增。另有$a_1\>$
  =1a_1>=1.又每週最多刷13題，故$a_{84}<=13*12=156$.

3.因此又有：

• $1<=a_1<a_2<a_3<...<a_{84}<=156$.

4.同理，

• $a_1+11,a_2+11,a_3+11,...,a_{84}+11$

• 同樣是一個嚴格遞增序列。範圍：

• $12<=a_1+11<a_2+11<a_3+11<...<a_{84}+11<=167$

5.我們把兩個序列合起來看：

• $a_1,a_2,a_3,...,a_{84},a_1+11,a_2+11,a_3+11,...,a_{84}+11$

• 一共$168$個數。其中每一個數都是$1$到$167$之間的一個整數。

6.根據鴿巢原理可得，其中必有兩個數相等！！！

7.既然

• $a_1,a_2,a_3,...,a_{84}$

• 中必然無相等的兩個數，

• 那麼$a_1+11,a_2+11,a_3+11,...,a_{84}+11$

• 中同理。那麼，必然存在一個$x$和一個$y$,使得

• $a_x=a_y+11$;

8.從而得出結論：這個$oier$在第

• $y+1,y+2,y+3,...,x$

• 天內一共刷了$11$道題

應用二

證明：在邊長為$2$的等邊三角形中放上$5$個點。則至少存在兩個點，他們之間的距離小於等於$1$.

1.我們先畫出一個邊長為$2$的等邊三角形。

2.然後把三條邊中點兩兩相連。就形成了這張圖。

3.那麼根據鴿巢原理，必然有兩個點在一個邊長為$1$的小三角形裡。

4.而我們知道，邊長為$1$的等邊三角形裡處處距離都小於等於$1$

5.於是問題就解決了

應用三

已知$n+1$個正整數，它們全都小於或等於$2n$，證明當中一定有兩個數是互質的。

1.要證明這個問題，我們就要利用一個互質的特性：兩個相鄰整數互質。

2.有了這個突破口，於是我們可以構造n個鴿巢，每一個裡依次放入

• $1,2,3,...,2n$

• 這2n個數中的兩個數。

3.也就是說，我們要在這其中取出$n+1$個數。

4.根據鴿巢原理，無論如何，我們都會抽空一個鴿巢。

5.一個鴿巢中的兩個數肯定互質，所以問題就解決了。

扒慄史：匈牙利大數學家厄杜斯(PaulErdous,1913 - 1996) 向當年年僅$11$歲的波薩(LouisPósa)提出這個問題，而小波薩思考了不足半分鐘便能給出正確的答案。

有趣的小（leng）知（xiao）識（hua）： 山東高考$2017$年有$54$萬人。而人的頭髮大約有$8-12$萬根。那麼必然有兩人的頭髮數量相同。

好了，現在來一道初賽真題收（dian）心(di):

【NOIP2010 提高組】記$T$為一佇列，初始時為空，現有n個總和不超過$32$的正整數依次入隊，如果無論這些數具體為什麼值，都能找到一種出隊的方式，使得存在某個時刻佇列$T$中的數之和恰好為$9$，那麼$n$的最小值是_______________

1.第一眼看到此題，蒟蒻就知道自己只能根據結果推過程了

2.剛開始看了一眼答案：$18$.

3.於是就根據這個開始推導過程。我們可以令$a_i$表示前$i$個數的和，並約定：$a_0=0$.

4.題目要求求出最小的$n$，使得存在$0<=x<y<=n$滿足$a_y=a_x+9$

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