$N$ 個人圍一圈, 選一個人, 從 1 開始計數, 計到第 $k$ 個人出局, 剩下的人組成新環, 再次從 1 開始計數, 計到 $k$ 的人出局. 如此反覆, 直到剩下最後一個人, 作為勝利者. 問, 在遊戲開始時, 排在第幾號位置, 可以保證自己是最後的勝利者?

舉一個特例理解題目, 設 $N = 6, k = 5$, 則這一圈人是

出局的順序依次是 5 -> 4 -> 6 -> 2-> 3, 所以開局時候排在第 $1$ 位是勝利者.

程式設計求解的直接思路: 用一個 迴圈連結串列 儲存這 $N$

優化, 重新分析問題, 試圖找到其中的隱含規律. 計算機語言問題描述：$n$ 個人（編號$0\to(n-1）$），從$0$開始報數，報到$（m-1）$的退出，剩下的人繼續從 $0$ 開始報數。求勝利者的編號。

我們可以確定, 第一個出列的人編號肯定是

• $k \to 0$
• $k+1 \to 1$
• $k+2 \to 2$
• $...$
• $k-2 \to n-2$

也就是說變成了 $n-1$ 個人報數的子問題. 假設我們知道對於這個 $n-1$個人的子問題, 第 $x$ 個人是最終的勝利者, 那麼我們再把這個 $x$ 塞回去就是剛好 $n$個人情況下的解了. 變回去的公式就是 $x' = (x+k) \mod n$. 因此, 我們知道了 $n-1$ 下的解就可以求出 $n$ 的解, 典型的遞迴問題.

const int n = 68; // total number
const int m = 3; // kill the m_th person
int f = 0; // safe position
int main()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
    	f = (f + m) % i;
    cout << f + 1 << endl; // counts from 1
}

時間複雜度 $O(n)$, 空間複雜度 $O(1)$, 好很多了.

Ref

• 約瑟夫問題 – 百度百科 : 問題的起源, 分析求解, 和不同版本語言實現. 想不到濃眉大眼的百度百科還要這麼優秀的詞條.
• 約瑟夫問題 : 語言實現寫的比較詳細完整