約瑟夫環問題的兩種解法（詳解）【轉】
題目：
Josephus有過的故事：39 個猶太人與Josephus及他的朋友躲到一個洞中，39個猶太人決定寧願死也不要被敵人抓。於是決定了自殺方式，41個人排成一個圓圈，由第1個人開始報數，每報數到第3人該人就必須自殺。然後下一個重新報數，直到所有人都自殺身亡為止。然而Josephus 和他的朋友並不想遵從，Josephus要他的朋友先假裝遵從，他將朋友與自己安排在第16個與第31個位置，於是逃過了這場死亡遊戲。
對於這個題目大概兩種解法：
一、使用迴圈連結串列模擬全過程
-
#include<iostream> -
using namespace std; -
/************約瑟夫問題****************/ -
typedef struct CLinkList -
{ -
int data; -
struct CLinkList *next; -
}node; -
int main() -
{ -
///建立迴圈連結串列 -
node *L,*r,*s; -
L = new node; -
r =L; -
int n = 41,i; -
int k = 3; -
for(i = 1;i<=n;i++) //尾插法建立連結串列 -
{ -
s = new node; -
s->data = i; -
r->next = s; -
r= s; -
} -
r->next =L->next; //讓最後一個結點指向第一個有資料結點 -
node *p; -
p = L->next; -
delete L; //刪除第一個空的結點 -
///模擬解決約瑟夫問題 -
while(p->next != p) //判斷條件：因為最後肯定剩下一個人， 迴圈連結串列的最後一個數據的next還是他本身 -
{ -
for(i = 1;i<k-1;i++) -
{ -
p = p->next; //每k個數死一個人 -
} -
cout<<p->next->data<<"->"; -
p->next = p->next->next; //將該節點從連結串列上刪除。 -
p = p->next; -
} -
cout<<p->data<<endl; -
return 0; -
}
二、公式法
我們假設這41個人編號是從0開始，從1開始報數，第3個人自殺。
1、最開始我們有這麼多人：
[ 0 1 2 3 4 5 ... 37 38 39 40 ]2、第一次自殺，則是(3-1)%41=2 這個人自殺，則剩下：
[ 0 1 3 4 5 ... 37 38 39 40 ]3、然後就是從編號為3%41=3的人開始從1報數，那麼3號就相當於頭，既然是頭為什麼不把它置為0，這樣從它開始就又是與第1,2步一樣的步驟了，只是人數少了一個，這樣不就是遞迴了！！！就可以得到遞迴公式。想法有了就開始做：
4、把第2步中剩下的人編號減去3對映為：
[ -3 -2 0 1 2 ... 34 35 36 37 ]5、出現負數了，這樣不利於我們計算，既然是環形，37後面報數的應該是-3，-2，那麼把他們加上一個總數（相當於加上360度，得到的還是它）
[ 38 39 0 1 2 3 ... 34 35 36 37 ]6、這樣就是一個總數為40個人，報數到3殺一個人的遊戲。
這次自殺的是第5步中的(3-1)%40=2號，但是我們想要的是第2步中的編號（也就是最初的編號）
那最初的是多少？對應回去是5；
這個5是如何得到的呢？是（2+3)%41得到的。大家可以把第5步中所有元素對應到第2步都是正確的。
7、接下來是
[ 35 36 37 38 0 1 2... 31 32 33 34 ]自殺的是(3-1)%39=2，先對應到第5步中是(2+3)%40=5，對應到第2步是(5+3)%41=8。
8、這下看出來規律了把：
我們是正著推的，如果反過來推導，每次剩下的人的編號為f(i)，剩一個人的時候編號一定為0，兩個人為0,1，以此類推，則利用以下公式可以推匯出每次剩下的人。
-
f(1)=0; -
f(i)=(f[i-1]+m)%i;(i>1)
程式碼如下：
-
#include<iostream> -
using namespace std; -
///推導公式方法 -
int yuesefu(int n,int m){ -
if(n == 1){ -
return 0; //這裡返回下標,從0開始，只有一個元素就是剩餘的元素0 -
} -
else{ -
return (yuesefu(n-1,m) + m) % n; //我們傳入的n是總共多少個數 -
} -
} -
int main(void){ -
int a=41,b=3; -
//遞迴求最後一個存活的編號 -
//使用從正向思考 -
cout<<"最後一個人是"<<yuesefu(a,b)+1<<endl; -
//反向思考，從自殺的最後一人向前 -
int result = 2; -
//第一個自殺的人3號 -
cout<<3; -
//每次自殺的都是2號，但是不同的2號換算到最初序號所需的的次數是不同的 -
//外迴圈是迴圈不同的換算次數 -
for(int i = a; i >= 2 ; i-- ) -
{ -
result = 2; -
//內迴圈是開始換算 -
for(int j = i; j <= a; j++) -
{ -
result = (result+b) %j; -
} -
cout<<"->"<<result+1;//0開始變1開始，所以加1 -
} -
return 0; -
}
結果是一樣的：
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