寒假的時候看到了約瑟夫環的數學解法，感覺很厲害，不過一直沒有機會再進一步的看一看它的證明，今天下午有時間了，我就闡述一下我的理解

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約瑟夫環問題模擬是可以做的，但是執行時間太恐怖了，它的遞推數學解法簡單得喪心病狂，其實想來這種規律性極強的問題應該都是有遞推解法的

設 一共有n人，編號1~n，每報到第m人時出列（事實上等同於編號0~n，報到第m-1個人出列），此時第k個人出列

最開始：1  2  3  4  .....n;

出列後：1  2  3  4 ....  k-1  k+1  k+2...n;

將m+1號以後的資料調到1之前，然後將m+1號設定為1；

調整後	k+1	k+2	k+3	k+4	......	n	1	2	3	......	k-1
設定後	1	2	3	4	.....	n-k	n-k+1	n-k+2	n-k+3	......	n-1

可見一次出列前後序號的函式關係：設調整序號後的序號為X，調整前的序號為y，則有 X = y + k， 此時 k = m % n; 代入得     X  =  （y + m % n）% n ;  // X 大於 n 時取餘； 化簡得     X  =  （y + m ）% n ; 每一次出列前後的變化都如此，n人中出列 n-1 人，即調整過程迴圈 n-1 次，最後一個剩下的成員序號一定為 1，可逆推求得最開始的序號 化為遞迴式為  F[ n ]  =  （F[ n - 1 ] + m）% n; 之後的程式實現就很簡單了。無論是遞推還是直接計算，時間複雜度都是O(n) ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 看了一下別人的部落格，發現這其中還存在一個問題，當我們把 F[1] 設定為 1 時（即最後剩下的元素是1，相當於整個序列由1開始排到 n）， 當 （y + m ）% n =  0（如 n = 2, k = 3） 時會存在空值，因為序列中並沒有0號元素，解決這個問題有兩種方法：

1. 設定判斷條件：

   if( F[n] == 0){
       F[n] = n;
   }
    
   

   因為當求得的值是0時意味著 X 被 n 整除，即 X = n;
   
2. 將序列第一個元素序號改為0，即

   F[1] = 0;

   此時數列中的序號是 0 ~ n-1，而遞推式所求值的範圍也是 0 ~ n-1，正好可以相互對應