約瑟夫環是一個數學的應用問題：已知n個人（以編號1，2，3…n分別表示）圍坐在一張圓桌周圍；從編號為k的人開始報數，數到m的那個人出列；他的下一個人又從1開始報數，數到m的那個人又出列；依此規律重複下去，直到圓桌周圍的人全部出列。

前幾天，在一篇文章中得知了約瑟夫環的問題。然後，就涉及瞭解決辦法。這個問題，在許多計算機或者關於資料結構的書中都有提及，而其中的解決辦法便是使用迴圈連結串列——無論這個迴圈連結串列是使用指標還是陣列實現，模擬約瑟夫環的進行，最後得到解決方案。具體方法肯定早有某人披露。但是，令人深感奇妙的還是這個問題的數學解決。在不統計解決過程，即不統計每次都需要出列哪個序號時，就可以應用數學遞推公式，直接得出最後剩下的那個人的序號。

先總結一下約瑟夫環的遞推公式：

1. f[1]=0;　f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

公式得到的是以0～n-1標註的最終序號；下面我們就推導公式。

給出一個序列，從0～n-1編號。其中，k代表出列的序號的下一個，即k-1出列。

a 0, 1, …, k-1, k, k+1, …, n-1

那麼，出列的序號是(m-1)%n，k=m%n。出列k-1後，序列變為

b 0, 1, …, k-2, k, k+1, …, n-1

然後，我們繼續從n-1後延長這個序列，可以得到

c` 0, 1, …, k-2, k, k+1, …, n-1, n, n+1, …, n+k-2

我們取從k開始直到n+k-2這段序列。其實這段序列可以看作將序列b的0~k-2段移到了b序列的後面。這樣，得到一個新的序列

c k, k+1, …, n-1, n, n+1, …, n+k-2

好了，整個序列c都減除一個k，得到

d 0, 1, …, n-2

c序列中的n-1, n, n+1都減除個k是什麼？這個不需要關心，反正c序列是連續的，我們知道了頭和尾，就能知道d序列是什麼樣的。

這樣你看，從序列a到序列d，就是一個n序列到n-1序列的變化，約瑟夫環可以通過遞推來獲得最終結果。ok，繼續向下。

剩下的就是根據n-1序列遞推到n序列。假設在n-1序列中，也就是序列d中，我們知道了最終剩下的一個序號是x，那麼如果知道了x轉換到序列a中的編號x`，不就是知道了最終的結果了麼？

下面我們就開始推匯出序列a中x的序號是什麼。

d->c，這個變換很容易，就是x+k；

c->b，這個變換是網上大家都一帶而過的，也是令我鬱悶的一個關鍵點。從b->c，其實就是0~k-2這段序列轉換為n~n+k-2這段序列，那麼再翻轉回去，簡單的就是%n，即(x+k)%n。%n以後，k~n-1這段序列值不會發生變化，而n~n+k-2這段序列則變成了0～k-2；這兩段序列合起來，就是序列b。

於是乎，我們就知道了，x`=(x+k)%n。並且，k=m%n，所以x`=(x+m%n)%n=(x+m)%n。公式1就出來了：f[i]=(f[i-1]+m)%i。當然，i=1就是特殊情況了，f[1]=0。這裡還有一個小問題。也許你會迷惑為什麼x`=(x+m%n)%n=(x+m)%n中的%n變成公式中f[i]=(f[i-1]+m)%i中的%i？其實這個稍微想想就能明瞭。我們%n就是為了從序列c轉換到序列b——這是在n-1序列轉換成n序列時%n；那麼從n-2轉換到n-1呢？不是要%(n-1)了嗎？所以這個值是變數，不是常量。

好了，這個最後需要注意的就是從一開始，我們將n序列從0～n-1編號，所以依據公式得出的序號是基於0開始的。下面給出程式碼：

    #include<iostream>  
    #include<cstdio>  
    using namespace std;  
      
    int main()  
    {  
        int ncase, n, m, ans;  
        scanf("%d", &ncase);  
        while(ncase--)  
        {  
            scanf("%d%d", &n, &m);  
            ans = 0;  
            for(int i = 2; i <= n; ++i)  
            {  
                ans = ( ans + m ) % i;  
            }  
            printf("%d\n", ans + 1); //易錯點，編號從1開始，所以結果+1
        }  
        return 0;  
    }  

迴圈單鏈表解法：

#include<stdio.h>   
#include <stdlib.h>  

typedef struct node//節點存放一個數據和指向下一個節點的指標  
{  
    int data;  
    struct node* pnext;  
} Node;  

Node *link_create(int n)//建立n個節點的迴圈連結串列  
{  
    //先建立第1個節點  
    Node *p,*q,*head;  
    int i ;  
    p = (Node *)malloc(sizeof(Node));  
    head = p;  
    p->data = 1;  

    for(i = 2;i<=n;i++)//再建立剩餘節點  
    {  
        q = (Node *)malloc(sizeof(Node));  
        q->data = i;  
        p->pnext = q;  
        p = q;  
    }  
    p->pnext = head;//最後一個節點指向頭部，形成迴圈連結串列  
    return head;  
}  

void link_process(Node *head,int k,int m)//從編號為k(1<=k<=n)的人開始報數，數到m的那個人出列；  
{  
    int i;  
    Node *p = head,*tmp1;  
    while(p->data != k)//p指向的節點data為k 
    {
        tmp1 = p;
        p = p->pnext;  
    }

    while(p->pnext != p)  
    {  
        for(i=1;i<m;i++)  
        {  
            tmp1 = p;  
            p = p->pnext;  
        }  
        printf("%d ",p->data);  
        tmp1->pnext= p->pnext;  
        free(p);  
        p = tmp1->pnext;  

    }  
    printf("%d ",p->data);  
    free(p);  
}  

int main()  
{  
    Node *head = link_create(5);      
    link_process(head,3,1);  
    system("pause");  
    return 0;  
}