核心：問題分解、狀態轉移

1問題及求解

一堆物品，編號1,2,…,n，重量w1,w2,…,wn，價值v1,v2,…,vn,現在有一個包，能承受的最大重量為w，問選裝哪幾件物品，能帶走的價值最大？

核心：問題分解、狀態轉移

分解：對每個物品就兩種情況，要麼裝，要麼不裝，那麼我們從最後一個物品n開始逐個考察。

狀態轉移：對第i個物品，當前揹包容量為j，當前揹包內最大價值為val[i][j]，

如果它的重量比當前揹包容量大，放棄，看下一個，即 val[i][j]=val[i-1][j];

如果它的重量不大於當前揹包容量，那裝還是不裝，按總價值大的來，

    i)不裝的話，最大總價值和前面一樣，揹包容量不變，即a = val[i-1][j];

    ii)裝的話，最大總價值為前面最大總價值加上當前價值，揹包容量減去該物品質量，即 b = val[i-1][j-w[i]]+v[i];

則，val[i][j]=max(a,b).

2 示例

編號1-6的物品資訊為：重量陣列w = {4, 6, 2, 2, 5, 1}，價值陣列v = {8, 10, 6, 3, 7, 2}。求揹包容量C = 12時，選哪幾件物品總價值最大？最大價值是多少？

求C=12的過程依賴於前面各個過程結果，列出價值矩陣如下（自下而上、自左向右求得），所以當c=12時的最大價值為24。

那具體放入了那幾件物品呢？看最後一列，從最後一個逐個和上一個值做比較，如果相等，說明該物品沒有放入揹包，如果不等，則放入了揹包。容易看出揹包中的物品為第3,2,1號。

3 C++實現

迴圈或遞迴均可，註釋已標註

a.迴圈實現

#include<iostream>

using namespace std;

int main(){
	
	int N=6;
	int C=12;
	
	int v[N+1]={0,8,10,6,3,7,2};
	int w[N+1]={0,4,6,2,2,5,1};
	

	int val[N+1][C+1];//價值矩陣 
	
	//針對第0個物品，無論揹包大小是多少，所能取得的最大價值均為0 
	for(int j=0;j<C+1;j++) val[0][j]=0;
	
	
	for(int i=1;i<=N;i++){
		for(int j=1;j<=C;j++){
			//如果當前揹包容量j小於當前物品i的重量，則不裝i物品 
			if(j<w[i]) val[i][j]=val[i-1][j];
			
			//如果當前揹包容量大於等於當前物品i的重量，則選擇裝它或不裝它中較大的值 
			else val[i][j]=max(val[i-1][j-w[i]]+v[i],val[i-1][j]);
		}
	}
	cout<<val[N][C]<<endl;
	

	//從高到低，逐個判斷是否裝在了揹包中
	//判斷方法：逐個與前一個比較，若價值相等，說明該物品未裝入包中 
	int b[N+1];
	for(int i=N;i>=1;i--){
		if(val[i][C]==val[i-1][C]) b[i]=0;
		else{
			b[i]=1;
			cout<<i<<' ';
			C=C-w[i];
		}
	}

	return 0;
}

b.遞迴實現

#include<iostream>

using namespace std;

//遞迴實現，返回第1至第i個物品可裝入的最大價值，當前揹包容量c，w[]為重量，v[]為對應的價值 
int val(int i,int c,int w[],int v[]){
	//第0個物品價值為0 
	if(i==0) return 0;
	
	//如果當前揹包容量小於當前物品重量，則不放入，最大價值同val(i-1,c,w,v) 
	else if(c<w[i-1]) return val(i-1,c,w,v);	
	
	//如果當前揹包容量大於等於當前物品重量，放入或不放入，看哪個價值大 
	else{
		int a=val(i-1,c-w[i-1],w,v)+v[i-1];//放入後總價值 
		int b=val(i-1,c,w,v);//不放入總價值 
		return max(a,b);
	}
}


int main(){
	int v[6]={8,10,6,3,7,2};
	int w[6]={4,6,2,2,5,1};
	
	int m=6;//第m個物品 
	int c=12;//揹包容量 
	cout<<val(m,c,w,v)<<endl;//最大價值 
	
	//從高到低，逐個判斷是否裝在了揹包中
	//判斷方法：逐個與前一個比較，若價值不相等，說明該物品放入了包中
	for(int i=6;i>=1;i--){		
		if(val(i,c,w,v)!=val(i-1,c,w,v)){
			cout<<i<<' ';
		} 		
	}	
	
	
	return 0;
} 

參考：