胡凡《演算法筆記》總結2——Hash雜湊
目錄
1.定義及本質
雜湊是常用的演算法思想之一，雜湊的本質是一種數學對映，是輸入（input）通過雜湊函式（hash function)對映到輸出(output)的一種壓縮變換。
百科上是這樣介紹雜湊的：
關聯陣列是這樣的陣列，它的每個資料元素與一個鍵相對配對，該鍵用於識別資料元素。由於雜湊函式用來建立關聯陣列中的指定元素，並在關聯陣列中查詢指定元素，因此關聯陣列通常稱為雜湊。在某種意義上，陣列元素與列表類似，而雜湊元素的存放與幾何類似，其元素之間沒有相對次序。在Ruby中，陣列與雜湊之間的兩個最本質的區別是：陣列使用數值下標來定位特定的元素，而雜湊使用字串值（鍵）來定位元素；陣列中的元素按下標排序，而雜湊中的元素則不是。
雜湊的建立方法有兩種：new方法或將一個字面量賦值給一個變數。
準確地說，陣列是數字下標與數值的對映，而雜湊則是任何型別的數字/字元/字串都可以進行相關對映，來定位元素。無論從範圍還是內涵上，雜湊都具有更一般的含義。
關於雜湊函式，定義如下：
Hash，一般翻譯做“雜湊”，也有直接音譯為“雜湊”的，就是把任意長度的輸入（又叫做預對映pre-image）通過雜湊演算法變換成固定長度的輸出，該輸出就是雜湊值。這種轉換是一種壓縮對映，也就是，雜湊值的空間通常遠小於輸入的空間，不同的輸入可能會雜湊成相同的輸出，所以不可能從雜湊值來確定唯一的輸入值。簡單的說就是一種將任意長度的訊息壓縮到某一固定長度的
訊息摘要的函式。
2.基本概念
- 若結構中存在和關鍵字K相等的記錄，則必定在f(K)的儲存位置上。由此，不需比較便可直接取得所查記錄。稱這個對應關係f為雜湊函式(Hash function)，按這個事先建立的表為散列表。
- 對不同的關鍵字可能得到同一雜湊地址，即key1≠key2，而f(key1)=f(key2)，這種現象稱碰撞。具有相同函式值的關鍵字對該雜湊函式來說稱做同義詞。綜上所述，根據雜湊函式H(key)和處理衝突的方法將一組關鍵字映象到一個有限的連續的地址集（區間）上，並以關鍵字在地址集中的“象” 作為記錄在表中的儲存位置，這種表便稱為散列表，這一映象過程稱為雜湊造表或雜湊，所得的儲存位置稱雜湊地址。
- 若對於關鍵字集合中的任一個關鍵字，經雜湊函式映象到地址集合中任何一個地址的概率是相等的，則稱此類雜湊函式為均勻雜湊函式(Uniform Hash function)，這就是使關鍵字經過雜湊函式得到一個“隨機的地址”，從而減少衝突。
性質
所有雜湊函式都有如下一個基本特性：如果兩個雜湊值是不相同的（根據同一函式），那麼這兩個雜湊值的原始輸入也是不相同的。這個特性是雜湊函式具有確定性的結果。但另一方面，雜湊函式的輸入和輸出不是一一對應的，如果兩個雜湊值相同，兩個輸入值很可能是相同的，但不絕對肯定二者一定相等（可能出現雜湊碰撞）。輸入一些資料計算出雜湊值，然後部分改變輸入值，一個具有強混淆特性的雜湊函式會產生一個完全不同的雜湊值。
典型的雜湊函式都有無限定義域，比如任意長度的位元組字串，和有限的值域，比如固定長度的位元串。在某些情況下，雜湊函式可以設計成具有相同大小的定義域和值域間的一一對應。一一對應的雜湊函式也稱為排列。可逆性可以通過使用一系列的對於輸入值的可逆“混合”運算而得到。
3.經典例項
先來看一個簡單例子：給出N個正整數，再給出M個正整數，問這M個數中的每一個數分別是否在N個數中出現過。
最樸素的思路是將M中的每個元素在N個元素的陣列中挨個查詢，找到說明存在；找不到說明不存在。這種情況下的時間複雜度位O(N*M)。這種方法的弊端是如果資料量太大，比如達到10^5級別，時間效率就會變得極低。
還可以採用先將N個元素快速排序，在採用二分查詢的方法，這種方法會提高效率。但是如果資料過多，快排和查詢的時間就會比較長。這種情況下可以開闢一個數組。比如我們有一個字串，就可以開闢一個a[128]的陣列，陣列初始化為0，然後查詢，凡是出現過的字元，都記錄為1，這樣再判斷下一個字元時，就可以根據是否為0就可以判斷該字元之前是否出現過。
3.1常用HASH函式
·直接取餘法：f(x):= x mod maxM ; maxM一般是不太接近 2^t 的一個質數。
·乘法取整法：f(x):=trunc((x/maxX)*maxlongit) mod maxM，主要用於實數。
·平方取中法：f(x):=(x*x div 1000 ) mod 1000000); 平方後取中間的，每位包含資訊比較多。
3.2構造方法
雜湊函式能使對一個數據序列的訪問過程更加迅速有效，通過雜湊函式，資料元素將被更快地定位。
（詳細構造方法可以參考hash函式中的【雜湊表的構造方法】）
1．直接定址法：取關鍵字或關鍵字的某個線性函式值為雜湊地址。即H(key)=key或H(key) = a·key + b，其中a和b為常數（這種雜湊函式叫做自身函式）
2． 數字分析法
3． 平方取中法
4． 摺疊法
5． 隨機數法
6． 除留餘數法：取關鍵字被某個不大於散列表表長m的數p除後所得的餘數為雜湊地址。即 H(key) = key MOD p,p<=m。不僅可以對關鍵字直接取模，也可在摺疊、平方取中等運算之後取模。對p的選擇很重要，一般取素數或m，若p選的不好，容易產生同義詞。