問題描述： Suppose that each coupon obtained is, independent of what has been previously obtained, equally likely to be any of m different types. Find the expected number of coupons one needs to obtain in order to have at least one of each type. Hint: Let X be the number needed. It is useful to represent X by $X$

中文描述：

假設在一次抽獎活動中，你需要集齊 m 種卡片，每次抽中任意型別卡片的概率是相等的，即$\frac{1}m$ 。那麼要集齊所有型別，平均要抽多少次？

背景知識（幾何分佈）：

這道題第一次做還是費一點腦力的，即便題目給了提示：考慮 m 個幾何分佈的和，但其實容易帶來誤導。

對於幾何分佈，大家都非常瞭解。每次試驗成功的概率是 p，則直到第 n 次試驗才第一次成功的概率服從幾何分佈 P(n)：

Suppose that independent trials, each having probability p of being a success, are performed until a success occurs. If we let X be the number of trials required until the first success, then X is said to be a geometric random variable with parameter p. Its probability mass function is given by $P($

解答：

先從簡單情況分析：

• 假設只有 1 種福卡，那隻需要抽1次就集齊了。
• 假設有 2 種福卡呢？首先第一次一定可以抽中其中一種，那麼問題就變成了：還需要抽多少次才能抽中第二種？顯然這是幾何分佈問題：成功的概率 p = 1/2，那麼平均還需要再抽2次，所以總體上看，平均抽獎 1+2 = 3次就能集齊兩種福卡。
• 假設有 m 種福卡呢？大家應該明白了，我們一種一種來數。 首先，抽中第一種福卡，需要 1 次； 接著，我們希望抽中一種和之前不同的卡片，那麼這個幾何分佈問題中成功的概率是 $\frac{m-1}m$, 即抽中剩餘 m-1種的任意一種，失敗的概率是 $\frac1m$，即和第一次抽的一樣。那麼抽中第二種福卡，需要 $\frac1{\frac{m-1}m}=\frac{m}{m-1}$次； 接下來，規律自然就出來了，抽第三種福卡需要和之前兩種不同，那麼成功的概率是 $\frac{m-2}m$，所以抽中第三種福卡，需要 $\frac1{\frac{m-2}m}=\frac{m}{m-2}$次； …… 最後，抽中第m種福卡，需要 m 次。 所以，總共需要$\sum_{i=0}^{m-1}\frac{m}{m-i}=\sum_{i=1}^{m}\frac{m}{i}$

你可能有些遺憾，只能寫成級數形式，不過這就是最簡形式了。 如果你懷疑它的正確性，我們下面來做個簡單的模擬。

程式模擬：

import random
import matplotlib.pyplot as plt

def sim(m):
    count = 0
    round = 1000     #重複次數
    for i in range(round):
        l = [0 for i in range(m)]
        while True:
            count = count+1
            l[random.randint(0,m-1)] = 1
            if sum(l[:]) == m:     #全部集齊
                break
    return count/round

def func(m):
    temp = [m/i for i in range(1,m+1)]
    return sum(temp)

x = [i for i in range(1,10)]
y_simulation = [sim(i) for i in x]
y_target = [func(i) for i in x]
plt.plot(x,y_simulation,'b')   #藍線代表模擬結果
plt.plot(x,y_target,'or')   #紅點代表理論結果
plt.show()

實驗結果： 橫座標 代表“福卡”種數 縱座標 代表抽獎次數

 非常完美！ 現在你知道在等概率條件下，集齊贏大獎 之類遊戲要抽多少次了吧！當然，等概率條件在現實抽獎情況下往往是不存在的。 XD