Description

Input

一行兩個整數k，p。

Output

一行一個整數表示答案。

Sample Input

1 3

Sample Output

6

Data Constraint

對於20%的資料：$k*p<=10^5$ 對於另外20%的資料 $k=1$ 對於70%的資料：$k*p<=10^9$ 對於100%的資料：$k,p<=10^9$

題解

這題一看就是一道不友好的題。 前%40暴力+打表 %70題解說：發揮人類智慧。 然而並不會做

然後我們要證明： $\sum_{i=1}^{p-1}i^{2p-1}\equiv p(p+1)/2(mod p^2)$

$\sum_{i=1}^{p-1}i^{2p-1}+\sum_{i=1}^{p-1}{(p-i)}^{2p-1}\equiv p(p+1)(modp^2)$

$\sum_{i=1}^{p-1}{i}^{2p-1}+{(p-i)}^{2p-1}\equiv p(p+1)(modp^2)$

$\sum_{i=1}^{p-1}{i}^{2*p-1}-\sum_{j=0}^{2p-1}C_{2p-1}^j*(-i)^{2p-1-j}*p^{j}\equiv p(p+1)(modp^2)$

由於當j>=2時，後面的式子是沒有用的“$\sum_{j=0}^{2p-1}C_{2p-1}^j*(-i)^{2p-1-j}*p^{j}$”（模意義下） 所以設後面的式子值為：S 當j=0時$S=-1*1*i^{2p-1}$ 當j=1時$S=(2p-1)*i^{2p-2}*p$ 得到： $\sum_{i=1}^{p-1}{i}^{2p-1}-i^{2p-1}+(2p-1)*p*i^{2p-2}\equiv p(p+1)(modp^2)$

$\sum_{i=1}^{p-1}(2p-1)*p*i^{2p-2}\equiv p(p+1)(modp^2)$

$\sum_{i=1}^{p-1}(2p-1)*i^{2p-2}\equiv p+1(modp)$（由於兩邊同時除p，模數也要除p）

因為費馬小定理：$a^{p-1}\equiv 1 (mod p)(p為質數)$

所以$i^{2p-2}=i^{2(p-1)}={(i^2)}^{p-1}\equiv 1(modp)$

所以原來就變成了： $\sum_{i=1}^{p-1}2p-1\equiv p+1(modp)$

$(p-1)(2p-1)\equiv p+1(mod p)$（去掉西格瑪）

$2p^2-4p+1\equiv 1(mod p)$（拆出來） 由於是模p意義下，所以變成了：$1\equiv1(mod p)$ 得證。 那麼回到題目： $\sum_{i=1}^{kp}i^{2p-1} mod p^2$

$\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{p}[(i-1)*p+j]^{2p-1} mod p^2$