解法

參考：https://blog.csdn.net/qq_23997101/article/details/73135615

數學推理題…………………………………………
本質是找a和k，使得： $n=1+a+$

• $\sqrt[k]{n}$為整數時， $a=\sqrt[k]{n}-1$
• $\sqrt[k]{n}$為非整數時， $a=\lfloor\sqrt[k]{n}\rfloor$

當k越大的時候a越小，k最大有多大呢？
當 $a\ge t$時，k最大為 $a=t$的時候，長度為 $\lceil log_t(n+1)\rceil-1$

所以我們現在得到了2條結論:

1. k確定時，a怎麼選：

• $\sqrt[k]{n}$為整數時， $a=\sqrt[k]{n}-1$
• $\sqrt[k]{n}$為非整數時， $a=\lfloor\sqrt[k]{n}\rfloor$

2. t確定時，應該從哪裡開始搜： $\lceil log_t(n(t-1)+1)-1\rceil$

所以演算法如下：

1. 初始時，t=2，算出一個長度k，再根據k算出一個a（當然這時a明顯為2）。
2. 如果a滿足條件，那麼顯然它是最小的，返回
3. 如果a不滿足條件，那下一個k在哪呢？下一個k至少要比當前的k小，並且下一個k算出來的a要大於現在的a，所以有： $k = min(k-1, \lceil log_{t+1}(nt+1)-1\rceil)$

有一個坑是k=1的時候算base，明顯base=n-1，但是轉成浮點再轉回整數可能有問題，所以如果最後也沒返回結果，預設返回保底的n-1

程式碼：

class Solution(object):
    def smallestGoodBase(self, n):
        """
        :type n: str
        :rtype: str
        """
        n = long(n)
        import math
        def good_base(n,k):
            tmp = math.pow(n,1.0/k)
            if abs(long(tmp)-tmp)<10**-6:
                return long(tmp)-1
            else:
                return long(tmp)

        def is_good_base(n,k):
            if n%k!=1:
                return False
            if n==1:
                return True
            return is_good_base((n-1)/k,k)
        now = int(math.ceil(math.log(n+1, 2)-1))
        while now>=1:
            base = good_base(n,now)
            if is_good_base(n,base):
                return str(base)
            now = min(int(math.ceil(math.log(n*base+1, base+1)-1)), now-1)
        return str(n-1)