彈指一揮間，國慶迎來第七天。拖延症即將又要發作，雖然這次開了個好頭，但是我有個老毛病，每次重新撿起鍵盤寫部落格之前都要花1天時間來醞釀情緒，對於平時的我來說，工作日是基本沒辦法寫的，週末吧，睡覺一天，醞釀一天又說要上班了。所以當年我寫書的時候還特地辭職在家專心寫，然後天天被家長罵的不行。

本篇是一個新的開始，為了後面醞釀情緒的時間短一點，我今天怎麼樣都要先把這篇給死出來。從標題就不難看出，它是前面的幾篇關係不大。而且似乎也沒矩陣的事。

事實上，它跟8個月前的連載二密切相關（哎呦，上次的還只是7個月，這次還變本加厲了），在那篇文章，我給出了一個通過縮放簡化直線和橢圓的判斷方法。而文中所提及的橢圓，正是一條二元二次方程。 

接下來的幾篇，我會給出用矩陣求解二元二次方程組的具體方案，而這套方案，正是建立在連載二縮放變換的基礎上。

相信學過線代（哪怕是已經還給老師）的童鞋們都會第一時間想到矩陣可以用來解多元一次方程組，而我則會給出解二元二次方程組的方法，其所用到的東西雖然都是矩陣，形式上也有相似的地方，但做法卻不盡相同。其新穎的套路，將馬上給大家帶來真正的史詩級體驗！

下一個問題，圓錐曲線又是什麼？這個是高中解析幾何教材提到的一個概念，據我所知有些版本的教材不叫這個名字，所以我也解釋下。圓錐曲線是圓，橢圓，拋物線和雙曲線的統稱，它們都可以通過對圓錐進行截面而得到，如下圖所示。

這個圖是我從百度百科上直接複製過來的，雖然有點醜（主要是畫質太差，其實畫的還算可以），但因為我想偷懶所以就沒再自己畫了。

圓錐曲線都是二元二次方程，兩個變數，最高次數均為兩次。

圓的是

橢圓的是

拋物線的是

或

雙曲線的是

以上方程中，除x，y外，其它字母均為常量。

它們均為二元二次方程，但不同曲線的方程形式不太一樣，在有些問題上，我們會把括號部分全部展開，並且把所有項都移到左邊，從而化成如下形式的一般方程。

值得一提的是，二次項除了x^2和y^2以外，還有一個xy，兩個未知數各佔一次所構成的二次項。

大家可以展開上面的4條方程，並整理成一般式，就會發現4種曲線都不包含二次項xy。這似乎說明了一個結論，上面的額4種曲線並不能囊括所有的二元二次方程，或者說，二元二次方程所表示的曲線未必就是以上4種曲線的其中1種。

那麼包含xy的它是神馬樣的曲線呢？還是說也有很多種？我們先從最簡單的，只包含xy項的方程xy=1開始。

方程兩邊同時除以x，得到

y=1/x

這是很簡單的-1次冪函式，也叫反比例函式，教材裡也叫它做雙曲線，那麼它跟我們上面給出的雙曲線是不是也是同一回事呢？我們先把兩種雙曲線都畫出來，上面的為了簡單點，我讓x0，y0都等於0，a，b都等於1。

xy=1的長這樣子

而x^2-y^2=1的則是長這樣子

都是兩段曲線，而且後者在補上漸近線之後，形狀看起來跟前者真的很像，只是旋轉了45度而已。

後者是解析幾何中指定的雙曲線標準方程，該曲線上任意一點到兩個焦點距離之差等於一個固定的數值。那麼我們試試看前者是否也符合雙曲線的這一性質。

x^2-y^2=1的焦點為(-sqrt(2), 0)和(sqrt(2), 0)，不知道這一結論的可以自己找解析幾何的教材複習一下。

然後我們試著照這個方式把xy=1可能是焦點的座標求出來，為了讓它們在變換上儘可能匹配，我們把xy=1的曲線順時針旋轉45度，不過數學書都喜歡反方向旋轉座標系。雖然我更喜歡旋轉曲線，但是這裡我也採用數學書的方式，因為這個做法有一個好處，就是可以更好的防治頸椎病~~

旋轉座標之後，兩段曲線都跟x軸有個交點，這正是雙曲線的兩個頂點，由於這兩個點是跟直線y=x相交所得，所以不難求得圖上的兩個黑點在旋轉前的座標為(1,1)和(-1,-1)。

在x^2-y^2=1中，頂點為(1, 0)對應的焦點為(sqrt(2), 0)，因此，現在我們按比例對應下，就得到焦點為(-sqrt(2), -sqrt(2))和(sqrt(2), sqrt(2))，剛好跟旋轉後的座標系的(-2,0)，(2, 0)重合。

上圖的黑點即為xy=1最有可能的兩個焦點。

現在我們開始計算xy=1上的任一點到這兩個點的距離之差。

因為y=1/x，所以曲線上任意一點可以用(x, 1/x)來表示，我們用兩點間距離公式算出該點到兩焦點的距離之差。

這個式子看著蛋疼，很難化簡，不過這裡有個套路，由於x和1/x互為倒數，它們的積為1，所以用完全平方公式的時候，中間的項會等於一個常數

(x+1/x)^2=(x^2+2x*1/x+1/x^2)=x^2+2+1/x^2

藉助這個套路，配平方會顯得特別容易。

我們拿第一個根號內的部分進行化簡試試。

這就化成了一個關於(x+1/x)的二次三項式，二次項為0，一次項係數一半的平方剛好等於常數項，所以它就是一個不折不扣的平方數

這步看不懂的可以從右邊展開反推回去。

類似的地，另一個根號的部分可化為

先平方再開方的結果等於自身的絕對值，所以最終結果為

然後根據高中刷不等式題的思路，當x>0時，有x+1/x>=2*x*1/x=2，根據函式的對稱性，x<0就有x<=-2，於是，當x>0時，兩個絕對值號去掉後都不取反，而x<0的話則都取反。

這樣我們分情況討論下。

x>0時，有

而x<0時，有

綜上所述，對於任意的(x, 1/x)，也就是曲線xy=1上的任意一點，它到兩個點(-sqrt(2), -sqrt(2))和(sqrt(2), sqrt(2))的距離之差都等於固定值2*sqrt(2)，也就是說，xy=1也具備跟雙曲線x^2-y^2這樣的標準方程一樣的性質！再簡單點就是，這兩種來源不同的雙曲線本質上沒有任何區別！

由此我們發現，雖然4種圓錐曲線的標準方程都不包含xy項，但是包含xy項的方程也有可能是圓錐曲線通過旋轉一類的矩陣變換所得到的，標準方程旋轉後會有產生xy項的可能。

那麼問題來了，是不是所有包含xy項的二元二次方程都是圓錐曲線的變體？圓，橢圓和拋物線旋轉後的方程又是啥樣子的？雙曲線旋轉其它任意角度是否也會產生xy項？我的計劃是在這篇內寫完的，然而我又寫長了，大家看到這裡還沒結束的話估計也困了吧。。。。其實我也困了，那下篇我再為大家揭曉這些問題的答案，敬請期待！