轉自http://www.cnblogs.com/isabelincoln/archive/2009/06/18/1504623.html

特徵向量與特徵值

在看線性代數這一部分的時候，真是一頭霧水。雖然明白了特徵值和特徵向量的求法，但總覺得沒有用。在《理解矩陣》一文中，雖然提到了這與矩陣的本質有關，但並未詳細提及，但我知道了一定具有一定的幾何意義。

後來，查看了《特徵向量的幾何意義》一文，才明白了。特別是wikipedia中關於《特徵向量》的文章，終於對特徵向量有了一點認識。

      

因為l是常數，所以lx與x的方向相同。即，一個變換的特徵向量是這樣一種向量，它經過這種特定的變換後保持方向不變，只是進行長度上的伸縮而已。

下圖是從wikipedia的《特徵向量》一文中引用的。通過這個圖可以對變與不變有一個進一步的瞭解。

圖1. 在這個 錯切變換中， 蒙娜麗莎的影象被變形，但是中心的縱軸在變換下保持不變。（注意：角落在右邊的影象中被裁掉了。）藍色的向量，從胸部到肩膀，其方向改變了，但是紅色的向量，從胸部到下巴，其方向不變。因此紅色向量是該變換的一個 特徵向量，而藍色的不是。因為紅色向量既沒有被拉伸又沒有被壓縮，其 特徵值為1。所有沿著垂直線的向量也都是特徵向量，它們的特徵值相等。它們構成這個特徵值的 特徵空間。   在wikipedia的《特徵向量》一文中還提到了一個地球旋轉的例子，旋轉本身是一種線性變化，出來在旋轉軸上的向量之外，所有從地心指向地表的向量的方向都變了。在旋轉軸上的向量的向量就是這個線性變化的特徵向量。   說到這我想很多人應該明白了，矩陣是一種線性變化，特徵向量就是在這個變化當中不變的向量。說白了就是在變化當中尋找不變的東西。這不就是很多學科研究的內容嗎？   關於這個主題的更多內容可以參考《

漫談高數(四) 特徵向量物理意義》一文，該文對這個主題做了一個深入淺出的解釋，是一篇比較好的文章。