樹狀陣列大法好

講這道題之前先講點進階內容

一維樹狀陣列的區間修改+區間求和

不會樹狀陣列入門知識的->出門左轉 不會樹狀陣列單點修改的->出門右轉 好了，現在留下的都是奆佬 我們先講一下區間修改 根據之前單點修改，區間求和的思想，發現差分陣列非常有用，那麼我們不難發現一個有趣的性質，對於差分陣列d[i]，原陣列a[i]，存在$a[i]=\sum\limits_{k=1}^{i}d[i]$，自己手動模擬一下 ，$d[1]=a[1]$，$d\left[2\right]=a\left[2\right]-a\left[1\right]=d\left[1\right]+d\left[2\right]=a\left[2\right]-a[$

二維樹狀陣列

類比一維樹狀陣列，一維樹狀陣列陣列上，字首和是每次減個lowbit的位置加起來，那麼我們放在二維上，我們可以想象為先橫著求和，再豎著求和，所以是

for (int i=x;i;i-=lowbit(i)
for (int k=y;k;k-=lowbit(k)

這樣就可以得到字首和了，但是我要求你有修改操作 類比一下一維樹狀陣列的差分性質，我們對它做一個二維差分，想一下二維字首和，i,k的二維字首和和等於$s[i][k]=s[i-1][k]+s[i][k-1]-s[i-1][k-1]+a[i][k]$，於是我們就類比了一下，我們使得差分陣列$d[i][k]=a[i][k]-a[i-1][k]-a[i][k-1]+a[i-1][k-1]$，然後$d[i][k]$也存在類似於一維的性質$d[i][k]=\sum\limits_{x=1}^{i}\sum\limits_{y=1}^{k}d[x][y]$，手模一下就發現了，或者根據差分的過程也能得到，所以字首和就是$s[i][k]=\sum\limits_{j=1}^{i}\sum\limits_{l=1}^{k}\sum\limits_{x=1}^{j}\sum\limits_{y=1}^{l}d[x][y]$，複雜度炸了一地啊！然後開始優化，發現$d[1][1]$用了$i * k$次，$d[2][2]$用了$i*(k-1)$次，所以得到對於差分數組裡的$d[x][y]$用了$(i-x+1)*(k-y+1)$次，化簡上面式子$s[i][k]=\sum\limits_{x=1}^{i}\sum\limits_{y=1}^{k}d[x][y]*(i-x+1)*(k-y+1)$，還是沒辦法直接維護，繼續化簡一下？ $=\sum\limits_{x=1}^{i}\sum\limits_{y=1}^{k}d[x][y]*(i-x+1)*(k-y+1)$ $=\sum\limits_{x=1}^{i}\sum\limits_{y=1}^{k}d[x][y]*(i+1)*(k+1-y)-\sum\limits_{x=1}^{i}\sum\limits_{y=1}^{k}d[x][y]*x*(k+1-y)$ $=\sum\limits_{x=1}^{i}\sum\limits_{y=1}^{k}d[x][y]*(i+1)*(k+1)-\sum\limits_{x=1}^{i}\sum\limits_{y=1}^{k}d[x][y]*(i+1)*y-\sum\limits_{x=1}^{i}\sum\limits_{y=1}^{k}d[x][y]*x*(k+1)+\sum\limits_{x=1}^{i}\sum\limits_{y=1}^{k}d[x][y]*x*y$ 整理一下得到 $(i+1)*(k+1)*\sum\limits_{x=1}^{i}\sum\limits_{y=1}^{k}d[x][y]-(i+1)*\sum\limits_{x=1}^{i}\sum\limits_{y=1}^{k}d[x][y]*y-(k+1)*\sum\limits_{x=1}^{i}\sum\limits_{y=1}^{k}d[x][y]*x+\sum\limits_{x=1}^{i}\sum\limits_{y=1}^{k}d[x][y]*x*y$