簡介

大步小步演算法用於解決離散對數問題。即求模方程$a^x\equiv b(\mod p)$的最小解（或者給出無解）。

先討論$p$為奇素數的情況。

暴力求解？

列舉$x$，判斷$a^x$是否與$b$模$p$同餘即可。
但是無解的情況如何判定？
實際上，若$x<p$的情況都無解，即可判斷此方程無解。理由如下：
我們知道：因為$(a,p)=1$，根據尤拉定理：

BSGS演算法

取$m=\left \lceil \sqrt{q} \right \rceil$。

1. 先算出所有的$a^{}$
   x,x⩽ma^x,x\leqslant m，判斷是否有解，並把$a^x$的值扔進$Hash$表裡。
2. 若無解，則考慮$x>m$。
   可以把$x$拆成$x=i\times m + j(j<m)$的形式。
   那麼：
   $a^x=a^{i\times m + j}=a^{{m}^{i}}\times a^j\equiv b(\mod p)$
   移項得：
   $a^j\equiv b\times a^{{-m}^{i}}(\mod p)$
   那麼先預處理出$a^{m}$的逆元，再列舉$i$，判斷$a^j$是否存在，若存在，則答案為$i\times m+j$
   時間複雜度為$O(\sqrt{p})$
   （如果$p$不是奇素數，但滿足$(a,p)=1$呢？）
   將$m$變為$m=\sqrt{\varphi(p)}$？
   求$\varphi(p)$的時間複雜度是$O(\sqrt{p})$，所以複雜度還是沒有變。。。
   還是老老實實取$m=\sqrt{p}$吧。
   時間複雜度$O(\sqrt{p})$
   模板題

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
#define LL long long
int read()
{
	int x = 0; char ch = getchar();
	for(;ch<'0'||ch>'9';ch = getchar());
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch = getchar()) x = (x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
	return x;
}
LL Pow(LL x,int a,LL p)
{
	if(a == 0) return 1;
	if(a == 1) return x;
	LL y = Pow(x,a>>1,p);
	y = (y * y)%p;
	if(a & 1) y = (y * x)%p;
	return y; 
}
#define hash_mod 10000037
int head[hash_mod],ne[hash_mod],ha[hash_mod],val[hash_mod],tot;
void hash_insert(int x,int pos)
{
	int y = x % hash_mod;
	for(int i=head[y];i;i=ne[i])
		if(ha[i] == x)
			return;
	ha[++tot] = x;
	val[tot] = pos;
	ne[tot] = head[y];
	head[y] = tot;
}
int hash_find(int x)
{
	int y = x % hash_mod;
	for(int i=head[y];i;i=ne[i])
		if(ha[i] == x)
			return val[i];
	return -1;
}
int BSGS(int a,int b,int p)//a^x=b(mod p) 
{
	int m = ceil(sqrt(p));
	int num = 1;
	for(int i=0;i<=m;i++)
	{
		hash_insert(num,i);
		if(num == b) return i;
		num = (1ll*num * a)%p;
	}
	int inv = Pow(Pow(a,m,p),p-2,p);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		b = (1ll*b*inv)%p;
		int j = hash_find(b);
		if(j != -1) return i * m + j;
	}
	return -1;
}
int p,a,b;
int ans;
int main()
{
	p = read(); a = read(); b = read();
	ans = BSGS(a,b,p);
	if(ans == -1) printf("no solution");
	else printf("%d",ans);
	return 0;
}

擴充套件

若$(a,p)\not=1$呢？
這時就要用到擴充套件$BSGS$了。

我們考慮將此情形變成$(a,p)=1$的情況。

若$b=0$，即可立刻得出答案。

否則，對於模方程$a^x\equiv b(\mod p)$，設$g=\gcd(a,p)$
顯然，若$g \nmid b$，則此方程無解。
若方程有解，同時除以$g$，得：
$\frac{a}{g}a^{x-1}\equiv \frac{b}{g}(\mod \frac{p}{g})$
令$x'=x-1,p'=\frac{p}{g},b'=\frac{b}{g}\times (\frac{a}{g})^{-1}$，則方程變為：
$a^{x'}\equiv b' (\mod p')$
遞迴計算$x'$，則答案為$x=x'+1$