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題目描述

明明做作業的時候遇到了 n 個二次函式 Si(x)=ax^2 + bx + c，他突發奇想設計了一個新的函式 F(x)=max⁡{Si(x)}，i=1…n。

明明現在想求這個函式在 [0,1000] 的最小值，要求精確到小數點後四位，四捨五入。

輸入格式

輸入包含 T 組資料，每組第一行一個整數n；

接下來 n 行，每行 3 個整數 a, b, c ，用來表示每個二次函式的 3 個係數。注意：二次函式有可能退化成一次。

輸出格式

每組資料輸出一行，表示新函式 F(x) 的在區間 [0,1000] 上的最小值。精確到小數點後四位，四捨五入。

樣例

樣例輸入

2
1
2 0 0
2
2 0 0
2 -4 2
 

樣例輸出

0.0000
0.5000

資料範圍與提示

對於 50% 的資料，1≤n≤100；

對於 100% 的資料，1≤T≤10, 1≤n≤10^5, 0≤a≤100, 0≤∣b∣≤5000, 0≤∣c∣≤5000。

三分法適用於求解凸性函式的極值問題，二次函式就是一個典型的單峰函式。

設當前求解的區間為[l，r]，令，，接著計算這兩個點的函式值，之後將兩點中函式值更優的那個點稱為“好點”（若計算最小值，則f更小的那個點就為好點），而函式值較差的那個點稱為“壞點”。

可以利用反證法證明：最優點和好點在壞點的同側。

如圖，f(m2)>f(m1)，最大值為最優點，因此m1是壞點，m2是好點，最優點與m2會位於m1同側，求解區間由[l，r]變為[m1,r]。由此可以不停縮小求解區間，直至得出近似解。

如果函式不嚴格單調，三分法將不適用。

由於a大於等於0，函式S是開口向上的二次函式（當a=0時是一次函式），即S為先單調遞減，後單調遞增的下凸函式，或者是一次單調函式，F(x)=max⁡{Si(x)}也滿足單調性。因此可用三分法求解[0,1000]內的最小值。

AC程式碼：

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#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define e 2.71828182
#define Pi 3.141592654
#define INF 1<<30
using namespace std;
struct node
{
    double a,b,c;	
}quad[10010];
int n;
double fun(double x)//F(x)
{
	double ans=-INF;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	ans=max(ans,quad[i].a*x*x+quad[i].b*x+quad[i].c);
	return ans;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(NULL);cout.tie(NULL);
	int T;
	cin>>T;
	while(T--)
	{
		cin>>n;
		for(int i=1;i<=n;i++) cin>>quad[i].a>>quad[i].b>>quad[i].c;
		double l=0.0,r=1000.0;//[0,1000] 
		while(r-l>1e-11)
		{
			double mid1=l+(r-l)/3,mid2=r-(r-l)/3;
			if(fun(mid1)<fun(mid2))//mid1是好點
			r=mid2; 
			else l=mid1;
		}
		cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(4)<<fun(l)<<endl;
	}
}