前言

線性規劃專題——SIMPLEX 單純形演算法（一) 提到了在線性規劃問題的以下結論：

1. 問題的所有可行解構成了一個n-m維度的多胞型
2. 而且最優解會在多胞型的頂點取得。
3. 每個頂點對著係數矩陣的一組基，或者係數矩陣的每組基對應著一個頂點。
4. 同時我們給出了多邊形或者更一般的多胞型的頂點的定義：頂點是那些特殊點，對於這些點而言，無法找到多邊形內部兩個不同的點，使得頂點在這兩個內部點形成的線段內。同時我們給出了多邊形或者更一般的多胞型的頂點的定義：頂點是那些特殊點，對於這些點而言，無法找到多邊形內部兩個不同的點，使得頂點在這兩個內部點形成的線段內。
   
   例如上面這個多邊形裡面，A,B,C是頂點，這三個點就不在任何多邊形內點所形成的線段內部。而E不是頂點，那麼總是可以找到任意多條線段使得E線上段的內部。
5. 頂點的解的格式：對於一個 $m \times n$的係數矩陣 $A$
   來說，且 $rank\left(A\right)=$
   m rank(A)=m ,它表示 $m$約束， $n$個未知數。那麼這個係數矩陣內每組基含有 $m$線性無關的列。頂點的解的格式：至少 $n-m$個0，剩下每一個 $x_{i}$都對應著矩陣 $A$的第 $i$列選為基本列下的解。

OK，本章就來解決單純型法剩下的幾個問題。

1. 如何從一個頂點轉移到另外一個頂點？
2. 什麼時候單純型演算法停止？
3. 如何生成第一個可行解，或者可行頂點？

如何從一個頂點轉移到另外一個頂點？

假設對於如下化為鬆弛型的線性規劃：

我們提取出它的係數矩陣，並且找到它的一個頂點。

這個頂點是： $X=[2,0,0,2,0,3,6]$，注意這裡的藍色的 $x_{i}$。他們的值不為0，那麼他們對應的列：第1列，第4列，第6列，第7列構成了係數矩陣的一組基。

現在，我們從 $x$出發，構造出一個新的頂點出來。
因為每組頂點都對應這一組基，於是這個問題就等價於從原來由第1列、第4列、第6列、第7列形成的一組基構造出一個新的基來。

我們知道，這個係數矩陣是包含了 $n$列的，在示例中就是7列，而這個矩陣的rank，又是 $m$,也就是4。因此，為了構造一個新的基，我們只要把舊的那組基本列裡面換下一列，然後從原來非基本列裡面選出一列放進去就又形成了一組基。

例如，現在我們想把係數矩陣的第三列放進來。那麼應該把舊基本列裡面那個列踢出去呢？

第三列本來是不屬於基本列的，那麼第三列肯定是可以由舊的基：第2列、第4列、第5列、第6列線性表出的。

下面，我們用 $A_{*i}$表示矩陣A的第i列, $A_{j*}$ 表示矩陣A的第j行。

顯然 $(A_{*1},A_{*4},A_{*6},A_{*7})$構成了 $A$的基本列，因為他們正好是一個元素個數為4的線性無關組。
於是 $A_{*3}$必然可以由這組基本列線性表出。怎麼計算係數呢？

假設 $A_{*3}=\lambda_1A_{*1}+\lambda_4A_{*4}+\lambda_5A_{*6}+\lambda_7A_{*7}$,把 $A_{*1},A_{*4},A_{*6},A_{*7}$並排在一起形成一個新的矩陣，那麼這可以寫成矩陣的形式：
$(A_{*1}|A_{*4}|A_{*6}|A_{*7})(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_6,\lambda_7)^T=A_{*3}$
解這個線性方程組就是了。最後可以解的： $A_{*3}=0A_{*1}+1A_{*4}+1A_{*6}+1A_{*7}$,

於是兩邊同時減去 $A_{*3}$得到：
$0=-A_{*3}+0A_{*1}+1A_{*4}+1A_{*6}+1A_{*7}$
我們整理一下，按列下標遞增的方式寫一下：
$0A_{*1}+0A_{*2}-1A_{*3}+1A_{*4}+0A_{*5}+1A_{*6}+1A_{*7}=0$