公鑰密碼學 RSA演算法
整個RSA過程大體是 生成祕鑰、加密、解密3個步驟
第一步 生成祕鑰
選兩個素數 p,q 保密，然後計算 n=pq 公開,
在1<e<Ø(n)範圍內選擇一個數e作為公鑰，e要與Ø(n)互素就行，即gcd(Ø(n),e)=1
求出私鑰 d≡e^-1 mod Ø(n)
所以 公鑰PU={e,n}, 私鑰 PR={d,n}
第二步 加密(sender)
C=M^e mod n=
第三步 解密(receiver)
M=C^d mod n=
下面一起舉個例子看看：
- 得出公鑰和私鑰
- 選擇兩個素數，p=17, q=11
- 計算 n=pq=17*11=187
- 計算Ø(n)=(p-1)(q-1)=160
- 選擇e使其與Ø(n)互素且小於Ø(n), 我們隨便選個e=7
- 確定d使得de≡1 (mod 160) 且d<160, 因為23*7=161,所以d=23, 這裡d可以利用擴充套件的歐幾里得演算法求出
所以 公鑰PU={7, 187} 私鑰 PR={23, 187}
- 加密
如果明文M=88， 則
密文 C=M^e mod n=88^7 mod 187=
88^1 mod 187=88
88^2 mod 187=7744 mod 187=77
88^4 mod 187= 59969536 mod 187= 132
88^7 mod 187=(88^4* 88^2 *88^1) mod 187=(132*77*88) mod 187= 894432 mod 1877=11
- 解密
M=C^d mod n= 11^23 mod 187=
11^1 mod 187=11
11^2 mod 187=121
11^4 mod 187= 121*121 mod 187=55
11^8 mod 187= 55*55 mod 187=33
11^16 mod 187= 33*33 mod 187=154
11^23 mod 187= (11^16* 11^4 *11^2 *11^1) mod 187= 154*55*121*11 mod 187=88
RSA演算法保密性分析：
傳送方C=M^e mod n知道 e， n
接收方M=C^d mod n 知道 d , n
要想得出e，那麼傳送方一定知道 Ø(n)， 要想知道 Ø(n)傳送方一定知道 p,q ,所有當然知道n
接收方要想得出 d，
上面是簡潔的介紹，下面再強調一些細節：
RSA體制是一種分組密碼，其明文和密文均是0到n-1之間的整數，通常n的大小為1024位二進位制或者309位十進位制，也就是n<2^1024。
RSA演算法使用乘方演算法，明文以分組為單位進行加密，每個分組的二進位制均小於n，也就是說分組的大小必須小於或等於log2(n+1) +1, 在實際應用中，分組的大小是i位，其中 2^i<n<=2^(i+1), 對於明文分組 M 和密文分組 C進行加解密。
解密公式化簡一下是 M=C^d mod n= (M^e)^d mod n= M^(ed) mod n
其中收發雙方都知道n，傳送方知道e，接收方知道d
RSA演算法成立的條件是什麼？
- 可以找到e,d,n, 使得對所有M<n, 有M^(ed) mod n=M
- 對所有M<n, 計算 M^e mod n 和 C^d是比較容易的
- 由e和n確定d是不可行的