數學建模中的目標規劃問題

對數學建模中的目標規劃問題作梳理。

一、目標規劃的分類

1. 約束規劃與無約束規劃（既無不等式約束又無等式約束）
2. 線性規劃（目標函式與約束函式均為線性函式）與非線性規劃
3. 整數規劃（包括0-1規劃）
4. 多目標規劃（目標函式形如f(x)=[f1(x),f2(x),…,fn(x)]

相關術語： 
可行解：滿足約束條件的一組決策變數的取值 
可行域：全部可行解的集合 
最優解：可行域中使目標函式達到最優值的可行解

二、線性規劃（Linear Programming,LP)

MATLAB中的標準形式：

線性規劃詳解見：https://blog.csdn.net/jianwei2016/article/details/76140388?utm_source=debugrun&utm_medium=referral

三、整數規劃（Integer Linear Programming,ILP）

MATLAB中的標準形式： 
minf(x) 
s.t.A*x≤b 
Aeq*x=beq 
lb≤x≤ub 
x1,x2,…,xn部分或全部取整數 
呼叫格式：

四、無約束非線性規劃

求解方法：

• 目標函式連續可微：最速下降法、牛頓法、擬牛頓法、共軛梯度法等

• 目標函式不連續不可微：遺傳演算法、粒子群演算法等

問題型別：

1. 一元函式在給定區間上的最小值

   模型：minf(x)s.t.x1<x<x2 
   呼叫格式：[x,fval] = fminbnd(f,x1,x2)

2. 無約束的多元函式的最小值

   模型：minf(x) 
   呼叫格式：[x,fval] = fminunc(f,x0)

3. 無導數法求解無約束的多元函式的最小值 
   模型：minf(x) 
   呼叫格式：[x,fval] = fminsearch(f,x0)

4. 遺傳演算法求解無約束規劃問題的最小值 
   模型：minf(x)s.t.lb≤x≤ub 
   呼叫格式：[x,fval] = ga(fitnessfcn,nvars,[],[],[],[],lb,ub)

5. 粒子群演算法求解無約束規劃問題的最小值 
   模型：minf(x)s.t.lb≤x≤ub 
   呼叫格式：[x,fval] = particleswarm(f,nvars,lb,ub)

6. 模式搜尋演算法求解無約束規劃問題的最小值

   模型：minf(x)s.t.lb≤x≤ub 
   呼叫格式：[x,fval] = patternsearch(f,x0,[],[],[],[],lb,ub)

非線性規劃

1. 二次規劃 
   模型： 
   minZ=12xTHx+cTx 
   s.t.A⋅x≤b 
   Aeq⋅x=beq 
   lb≤x≤ub 
   呼叫格式：[x,fval] = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
2. 約束的多元函式的最小值 
   minf(x) 
   s.t.A⋅x≤b 
   Aeq⋅x=beq 
   G(x)≤0 
   Geq(x)=0 
   lb≤x≤ub 
   呼叫格式：[x,fval] = fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
3. 遺傳演算法求解約束規劃問題的最小值 
   minf(x) 
   s.t.A⋅x≤b 
   Aeq⋅x=beq 
   G(x)≤0 
   Geq(x)=0 
   lb≤x≤ub 
   呼叫格式：[x,fval] = ga(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,beq,LB,UB,nonlcon)
4. 模式搜尋演算法求解約束規劃問題的最小值 
   minf(x) 
   s.t.A⋅x≤b 
   Aeq⋅x=beq 
   G(x)≤0 
   Geq(x)=0 
   lb≤x≤ub 
   呼叫格式：[x,fval] = patternsearch(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

多目標規劃

多目標規劃問題的解之間通常不能簡單地比較好壞，這樣的解稱為非支配解或Pareto最優解 
遺傳演算法求解多目標規劃問題： 
gamultiobj運用基於NSGA-II方法的多目標遺傳演算法 
模型： 
minF(x) 
s.t.A⋅x≤b 
Aeq⋅x=beq（LinearConstraints） 
G(x)≤0 
Geq(x)=0（NonlinearConstraints） 
lb≤x≤ub（BoundConstraints） 
呼叫格式：[x,fval] = gamultionj(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) 

參考連結：
[1]https://blog.csdn.net/suntengnb/article/details/81699943