1148.石子合併

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描述

在一個圓形（圓形！！！圓形！圓形！）操場的四周擺放著n堆石子(n<= 100)，現要將石子有次序地合併成一堆。規定每次只能選取相鄰的兩堆合併成新的一堆,並將新的一堆的石子數,記為該次合併的得分。編一程式，讀入石子堆數n及每堆的石子數(<=20)。選擇一種合併石子的方案,使得做n－1次合併,得分的總和最小； 比如有4堆石子：4 4 5 9 則最佳合併方案如下： 4 4 5 9 score: 0 8 5 9 score: 8 13 9 score: 8 + 13 = 21 22 score: 8 + 13 + 22 = 43

輸入

可能有多組測試資料。 當輸入n=0時結束! 第一行為石子堆數n(1<=n<=100)； 第二行為n堆的石子每堆的石子數,每兩個數之間用一個空格分隔。

輸出

合併的最小得分，每個結果一行。

#include <iostream>

using namespace std;

int n;

int stone[101];

int dp();

int memo[101][101];

int num(int i, int j);  //返回第i堆石子累加到第j堆石子的累加和

int main()
{
    while(cin>>n&&n)
    {
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            cin>>stone[i];
        }

        if(n==1)
        {
            cout<<'0'<<endl;
        }
        else
        {
            cout<<dp()<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

int dp()
{
    //備忘錄初始化
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        for(int j=0; j<n; j++)
        {
            if(i==j)
            {
                memo[i][j]=0;
            }
            else
            {
                memo[i][j]=INT_MAX;
            }
        }
    }

    //填寫備忘錄（石子踏馬是環形的啊啊啊）
    int minscore=INT_MAX;

    for(int len=1; len<n; len++)
    {
        for(int i=0,j=(i+len)%n; i<n; i++,j=(j+1)%n)
        {
            for(int k=0; k<len; k++)
            {
                memo[i][j]=min(memo[i][j],
                               memo[i][(i+k)%n]+memo[(i+k+1)%n][j]+num(i, j));

                if(len==n-1)    //已經填寫到長度最大的情況
                {
                    minscore=min(minscore, memo[i][j]);    //記錄最優解
                }
            }
        }
    }

    return minscore;
}

int num(int i, int j)   //返回第i堆石子累加到第j堆石子的累加和
{
    int x=0;
    if(i<j)
    {
        for(int k=i; k<=j; k++)
        {
            x+=stone[k];
        }
    }
    else
    {
        for(int k=i; k<n; k++)
        {
            x+=stone[k];
        }
        for(int k=0; k<=j; k++)
        {
            x+=stone[k];
        }
    }
    return x;
}
 

【後記】

1.剛開始寫的時候以為和矩陣連乘積那道題一模一樣，於是美滋滋地，張藝興的小歌兒聽著，鍵盤劈里啪啦的敲著，敲碼一時爽，WA火葬場。。。

2.然後才發現這石子踏馬的是環形擺著的，不過略一思索，發現只需要擴大for迴圈的遍歷範圍，不管越不越界，多套幾個(…)%n就好了。在矩陣連乘積那道題裡我還講：備忘錄表的下三角用不上、不寫了，結果這道題就用上了。。。

照例上圖：

圖中寫的就是dp函式的工作過程，先初始化，再填表，建議配合程式碼食用。

本題中遞推公式如下，其中k 為從第 i 堆石子開始數的第k個斷開位置，範圍是[0, len-1]：

我們在下圖的右邊填表過程中可以看到（注意標綠色的數字），每次len++後，新的迴圈都需要填兩個斜行的表，而 i 的範圍總是[0, n-1]，j 的範圍總是[ (i+len)%n, (i+len+n-1)%n]；

下圖中可以看出，最後的答案有n個，相當於把這個環從n個位置斷開，當作一條線（像矩陣連乘積那道題似的）分別求解而得到的n個最優解，在這些解中選一個代價最小的，就是最終真正的最優解。

3.本題中還有一個需要注意的地方：單獨處理只有一堆石子（n==1）的情況，此時代價為0（無法合併）。