FIR濾波器實現全通特性的充要條件——理論推導

阿新 • • 發佈：2018-12-16

對於FIR數字濾波器，可設其系統函式為 $H(z)=\sum_{n=0}^{N-1} a_n z^{-n} \quad \tag{1}$

從(1)式中，可以看出， $H(z)$ 的極點全部都在 $z=0$ 處。考慮到全通系統的每一對零極點都關於單位圓“映象”，即極點在單位圓內，零點在單位圓外，且模長互為倒數。因此，滿足全通特性的FIR濾波器的零點全部在 $z=\infty$ （無窮遠點）。根據 $H(z)$ 的特點，我們可以構造 $\begin{matrix} (2) & G (z) = z^{N - 1} H (z) = \sum_{n = 0}^{N - 1} a_{n} z^{N - 1 - n} = a \end{matrix}$

0zN−1+a1zN−2+...+aN−2z+aN−1 G(z)=z^{N-1}H(z)=\sum_{n=0}^{N-1} a_n z^{N-1-n} \quad\\ = a_0 z^{N-1}+a_1 z^{N-2}+...+a_{N-2} z+a_{N-1} \tag{2}

G (z) = z^{N - 1} H (z) = n = 0 \sum N - 1 a_{n} z^{N - 1 - n} = a_{0} z^{N - 1} + a_{1} z^{N - 2} + . . . + a_{N - 2} z + a_{N - 1} (2)

顯然，

G(0)=a_{N-1} \neq 0

（對於濾波器而言，最高階係數不可能為0） ①若

a_0,a_1,...,a_{N-2}

全為零，則

H(z)=a_{N-1}z^{-(N-1)}

令

z=e^{jw}

，可以得到

H(e^{jw})=a_{N-1}e^{-j(N-1)w}\\ |H(e^{jw})|=a_{N-1},Φ(w)=-(N-1)w

此時實現了一個線性相位的FIR全通濾波器。 ②若

a_0,a_1,...,a_{N-2}

不全為零，則(2)式的多項式次數

\geq1

由代數基本定理，在複數域內至少能找到一點

z=z_0

，使得

G(z_0)=a_0 z_0^{N-1}+a_1 z_0^{N-2}+...+a_{N-2} z_0+a_{N-1}=0

即

z_0^{N-1}H(z_0)=0

又由於

z_0 \neq 0

，從而

H(z_0)=0

這與前文所要求的零點全部在

z=\infty

（無窮遠點）相違背，故

H(z)

不具有全通特性。綜上所述，N-1階FIR濾波器具有全通特性

\iff a_0=a_1=...=a_{N-2}=0

(a_{N-1} \neq 0)

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