程式設計師面試一百題-16-O(logn)求Fibonacci數列
阿新 • • 發佈:2018-12-16
1-題目
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O(logn)求Fibonacci數列。
2-思路
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定義 : [f(n), f(n-1); f(n-1), f(n-2) = [1, 1; 1, 0]n-1
有了這個公式,要求得f(n),我們只需要求得矩陣[1, 1; 1,0]的n-1次方
,因為結果的第一行第一列就是f(n)
。這個數學公式用數學歸納法不難證明。
現在的問題轉換為求矩陣[1, 1; 1,0]的乘方。考慮到乘方的性質
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an = an/2 * an/2 (n為偶數)
an = a(n-1)/2 * a(n-1)/2 (n為奇數)
要得n次方,我們先求得n/2次方,再把n/2的結果平方一下。如果把求n次方的問題看成一個大問題,把求n/2看成一個較小的問題。這種把大問題分解成一個或多個小問題的思路稱之為分治法
3-程式碼
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#include<assert> //矩陣的資料結構 struct Matrix2By2 { //預設的矩陣值 Matrix2By2(long long m00 = 0, long long m01 = 0, long long m10 = 0, long long m11 = 0) : m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11) {} long long m_00; long long m_01; long long m_10; long long m_11; }; //矩陣的乘法 Matrix2By2 MatrixMultiply(const Matrix2By2 &matrix1, const Matrix2By2 &matrix2) { return Matrix2By2( matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10, matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11, matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10, matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11); } //矩陣的n次方 Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n) { assert(n > 0); Matrix2By2 matrix; //n=1時直接返回 if (n == 1) { matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0); } //n為偶數時 else if (n % 2 == 0) { matrix = MatrixPower(n / 2); matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix); } //n為奇數時 else if (n % 2 == 1) { matrix = MatrixPower((n - 1) / 2); matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix); matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0)); } return matrix; } long long Fibonacci(unsigned int n) { //初始值f(0)和f(1) int result[2] = {0, 1}; if (n < 2) { return result[n]; } Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1); //第一行第一列便為f(n) return PowerNMinus2.m_00; }