Unique Paths

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked ‘Start’ in the diagram below).
The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked ‘Finish’ in the diagram below).
How many possible unique paths are there?

題目大意

在一個m*n的表格中，從左上角的起點處走到右下角的終點處共有多少條不同的路徑。
在本題中，上圖中的表格是3*7的一個表格，有多少種不同的路徑。

思路

動態規劃思想

這是一個典型的入門級動態規劃問題，很容易想到動態規劃的思路。

二維陣列動態規劃

把問題中的m*n的表格翻譯成m*n的二維陣列，原理是除了第一行或者第一列的格子外，到其他格子路徑的走法是：每一個格子的可到達路徑數=左邊一個格子的可到達路徑數+上邊一個格子的可到達路徑數

一維陣列動態規劃

用一維陣列代替二維陣列，動態更新。時間複雜度為O(N^2)，空間複雜度為O(N)。

組合數學思想

組合數學的思想是，從左上角的起點處走到右下角的終點處，只能向右走或者只能向下走，從行上看走過了m - 1行，從列上看走過了n - 1列，即可以理解為排列組合的問題，所以一共需要的步數中挑出m - 1個向下走，剩下的n - 1個就是向右走，其實就是從（m-1+n-1）裡挑選（n-1）或者（m-1）個，即：C(n,r)，其中n = （m-1+n-1），r = （n-1）

程式碼

動態規劃（二維陣列）

int uniquePaths(int m, int n) {
    // 用vector定義int型別的二維陣列，並全部初始化為1
    vector<vector<int > > dp(m, vector<int >(n, 1));
    for(int i=1; i<m; i++)
    {
        for(int j=1; j<n; j++)
        {
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
        }//for
    }//for
    return dp[m-1][n-1];
}

動態規劃（一維陣列）

int uniquePaths(int m, int n) {
    // 用vector定義int型別的一維陣列，並全部初始化為1
    vector<int > dp(n, 1);
    for(int i=1; i<m; i++)
    {
        for(int j=1; j<n; j++)
        {
            // 用一維陣列模擬二維陣列，動態更新當前行
            dp[j] += dp[j-1];
        }//for
    }//for
    return dp[n-1];
}

組合數學（排列組合）

int uniquePaths(int m, int n) 
{
    long x = m+n-2;// 不用 long 會溢位，階乘求出來太大了
    long y = min(m,n)-1;
    long up = 1,down =1;// 最後求組合數的分子 / 分母
    // if(m==1||n==1) return 1;
    for(int i = 0;i<y ;i++)
    {
        up *= x--;
    }
    for(int i = y; i>0; i--)
    {
        down *= i;
    }
    return int(up/down);
}

以上。

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