分治法

分治一般可以直接使用遞迴實現，在不考慮空間消費的情況下和迭代方式時間消耗相差不多

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分治一般形式: T(n) = k*T(n/m) + f(n)

k為子問題個數，一般均分或者等比分

n/m問題規模，一般情況下m已經確認了子問題的個數，可以通過變換減少為a個

f(n) 為資料的處理，劃分和綜合工作量，可以增加預處理，從而減少在遞迴裡面的操作

也就是把遞迴裡面的操作儘量放在迴圈體外面處理

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問題規模和個數k*T(n/m)，k<=m,當然理論上也有T(n-m)的情況，在這種情況下子問題變得很多，且子問題可能相互依賴，不獨立，無法逐個解決，需要按照順序解決子問題，通常那種情況下使用動態規劃解決。

所以可以看出來分治和動態規劃的區別：一個子問題多，多的還有存在依賴，一個子問題少，且子問題獨立，從一般的狀態轉移方程也可以看出區別，一個是減法衰減，一個是除法衰減。

這裡還有一個思考，假如一個問題可以分解成很多個子問題，且子問題獨立，這時直接使用分治或者是直接使用動態規劃，都是和蠻力演算法沒有區別，這時就需要考慮使用分治優化策略，減少子問題k,或者通過減少步驟f(n)來優化。

二分檢索

二分檢索原問題可以看成3個情況，檢索目標就在middle，檢索目標在middle左邊，檢索目標在middle右邊，f[left,right] = f[middle] or f[left,middle-1] or f[middle+1,right]，

實際上二分檢索可以看成分支限界法，arr[middle] 和 target比較剪枝，是分支限界的話，那麼就需要知道解空間，解空間就是，檢索目標的位置，通過深度增加，不斷精確檢測目標的位置，直到位置精確到1，[模糊位置，縮小範圍，縮小範圍，…,精確到1]，這個過程是滿足多米諾性質的，可以用剪枝來減少搜尋空間。

#%%
# 注意遞迴的返回值，遞迴的要返回的話，要前後一致，或者直接基於某一層考慮，把遞迴看成結果
 

def binary_Serach_recursive(arr,left,right,target):
        
    middle = (left + right) // 2
    # 遞迴出口
    if left > right :
        return(-1)
    
    if arr[middle] == target:
        return(middle)
            
    elif arr[middle] < target:
        # 這裡沒有return的話，結果就沒法return出來
        return binary_Serach_recursive(arr,middle+1,right,target)
        
    else:
        return binary_Serach_recursive(arr,left,middle-1,target)
        
def binary_Serach_iterative(arr,target):
    left = 0
    right = len(arr)-1
    
    # 迴圈體條件
    while left <= right:
        
        middle = (left + right) // 2
        
        if arr[middle] == target:
            return middle
        elif arr[middle] < target:
            left = middle +1
        else:
            right = middle -1
            
    return -1



#%%
arr = [7,3,66,33,22,66,99,0,1]
sort_arr = sorted(arr)
print(sort_arr)
print(binary_Serach_recursive(sort_arr,0,len(arr)-1,22))
print(binary_Serach_recursive(sort_arr,0,len(arr)-1,100))
print(binary_Serach_iterative(sort_arr,22))
print(binary_Serach_iterative(sort_arr,100))

[0, 1, 3, 7, 22, 33, 66, 66, 99]
4
-1
4
-1