內容會持續更新，有錯誤的地方歡迎指正，謝謝!

動態規劃

如果大問題分解為很多小問題後，小問題有互相重疊部分，則用遞迴的思路來分析問題，再用陣列儲存中間結果+迴圈的思路來寫程式碼！

動態規劃的三個特徵

1. 適用於最優解問題
2. 有大量的重複子問題
3. 子問題之間有依賴（不獨立）

與遞迴的關係：這些重複的子問題，DP演算法將其結果用一維或二維陣列（鄰接矩陣）儲存下來，等下一次又要計算該子問題時，直接用已計算好的；而遞迴卻不是這樣，它會一遍又一遍地計算這些重複的子問題，從而效率狂降。子問題重複率較高的遞迴演算法可改寫成動態規劃，但不是所有遞迴演算法都適合改成動態規劃。

與分治的關係：在分治法中，有大量的重複子問題，且它們之間無依賴。

如何寫動態規劃題目的程式碼

我覺得動態規劃題目是很簡單的，因為只要推出了遞推式，什麼0-1揹包問題、作業排程問題、最長共同子序列LCS問題等等，程式碼根據遞推式便可一氣呵成。

那又如何寫分治題目的程式碼

舉例：

動態規劃的兩種型別

1.自頂向下的動態規劃實現：用的遞迴。
2.自底向上的動態規劃實現：用的迭代。

斐波拉契數列

1.普通的遞迴實現的動態規劃：效率特別低，有大量的重複計算，指數級的時間複雜度。

int Fibo(int n)
{
    if(n==0)
        return 0;
    if(n==1)
        return
 
 1;
    return Fibo(n-1)+Fibo(n-2);
}

2.自底向上的動態規劃實現：會記錄重複子問題結果的改進版迭代。只要有儲存已經計算出的值的空間，就能把這項技術應用到任何遞迴計算中，就能把演算法從指數級執行時間向線性時間改進。

int Fibo(int n)
{
    int temp[n];
    temp[0]=0;
    temp[1]=1;
    for(int i=2;i<n+1;++i)
    {
        temp[i]=temp[i-1]+temp[i-2];
    }
    return temp[n];
}

3.自頂向下的動態規劃實現：

要先寫出遞推式，遞推式：
n=0時，f(n)=0，即在f(n)函式中return 0
n=1時，f(n)=1，即在f(n)函式中return 1
n>1時，f(n)=f(n-1)+f(n-2)，即在f(n)函式中return f(n-1)+f(n-2)
再用array陣列來記錄計算出的結果，避免重複計算一些值。

#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
#define N 12
int array[N] = {0};
int Fibo(int n)
{
    //不等於初始值0，則表示該元素已經求解過了，直接用其值即可。
    if(array[n]!=0)
        return array[n];

    //完成按著遞推式來寫邏輯，即可！
    if(n==0)
        return array[n] = 0;
    if(n==1)
        return array[n] = 1;
    if(n>1)
        return array[n] = Fibo(n-1)+Fibo(n-2);
}
int main()
{
    memset(array,0,sizeof(array));
    cout << Fibo(N) << endl;
    return 0;
}

總結：

為了避免遞迴產生的重複計算，多采用從下而上的迭代實現。所以，一般用自頂向下的遞迴思路來分析問題，並用自底向上的迭代思路來實現問題。自底向上也就是像求解斐波拉契數列那樣，先給出f(0)和f(1)這些已知數值，再在迴圈裡自底向上求解f(2)~f(n)的值，最後返回f(n)即可。

當然，用自頂向下的實現方式，並用陣列記錄計算過的值，一樣可以避免重複的計算，也行~