引言

最近集中研究計算智慧，其中涉及到遞迴和動態規劃，動態規劃實現中又用到了遞迴，忽然發現這兩個概念的差別分得不太清楚。索性把遞迴、分治策略、動態規劃、貪婪選擇之間的聯絡與區別都一併搞清楚吧。

1、分治策略（Divide and Conquer）

將原問題分解為若干個規模較小但類似於原問題的子問題（Divide），遞迴的求解這些子問題（Conquer），然後再合併這些子問題的解來建立原問題的解。因為在求解大問題時，需要遞迴的求小問題，因此一般用遞迴的方法實現，即自頂向下。

2、動態規劃（Dynamic Programming）

動態規劃其實和分治策略是類似的，也是將一個原問題分解為若干個規模較小的子問題，遞迴的求解這些子問題，然後合併子問題的解得到原問題的解。區別在於這些子問題會有重疊，一個子問題在求解後，可能會再次求解，於是我們想到將這些子問題的解儲存起來，當下次再次求解這個子問題時，直接拿過來就是。其實就是說，動態規劃所解決的問題是分治策略所解決問題的一個子集，只是這個子集更適合用動態規劃來解決從而得到更小的執行時間。

動態規劃一般由兩種方法來實現，一種為自頂向下的備忘錄方式，用遞迴實現，一種為自底向上的方式，用迭代實現。

3、貪心演算法（Greedy Algorithm）

貪心演算法在每一步都做出最優的選擇，希望這樣的選擇能導致全域性最優解。對，只是寄希望，因此貪心演算法並不保證得到最優解，但是它對很多問題確實可以得到最優解，而且執行時間更短。由此可見，貪心演算法是帶有啟發性質的演算法。那什麼時候可以用貪心演算法呢？當該問題具有貪心選擇性質的時候，我們就可以用貪心演算法來解決該問題。
貪心選擇性質：我們可以通過做出區域性最優（貪心）來構造全域性最優。

動態規劃與遞迴的比較

就效能而言，我用遞迴和動態規劃實現了斐波納契數列計算，遞迴如果超過40的時候就已經需要很長時間了，40次大概需要1秒左右，但是用動態規劃要一億次，才需要4秒，這個相差的可不是幾個數量級的問題。事實上，遞迴實現的斐波那契數列計算時間複雜度為O(2ⁿ),動態規劃實現時間複雜度為O(n)所以，在以後的開發中，儘量避免使用遞迴。
就具體實現上而言，動態規劃比普通遞迴僅僅是多了一步儲存子問題計算結果的操作。
例如，斐波那契數列的遞迴實現如下：

 int F(int i)
    {
             if(i < 1)  return 0;
             if(i == 1) return 1;
              return F(i-1) + F(i - 2);
    }

而用動態規劃演算法實現是這樣：

 int F(int i)
{
     if(knownF[i] != unknown){
        return knownF[i];
     }
     if(i == 0) t = 0;
     if(i == 1) t = 1;
     if(i > 1)  t = F(i - 1) + F(i - 2);
     return knownF[i] = t;
}

4、總結

1. 分治策略用於解決原問題與子問題結構相似的問題，對於各子問題相互獨立的情況，一般用遞迴實現；
2. 動態規劃用於解決子問題有重複求解的情況，既可以用遞迴實現，也可以用迭代實現；
3. 貪心演算法用於解決具有貪心選擇性質的一類問題，既可以用遞迴實現，也可以用迭代實現，因為很多遞迴貪心演算法都是尾遞迴，很容易改成迭代貪心演算法；
4. 遞迴是實現手段，分治策略是解決問題的思想，動態規劃很多時候會使用記錄子問題運算結果的遞迴實現。