本章內容：學習分而治之，快速排序

1） 示例1：

假設你是農場主，有一小塊土地，你要將這塊地均勻分成方塊，且分出的方塊儘可能大。如何分？

你要將這塊地均勻分成方塊，且分出的方塊要儘可能大。顯然，下面的分法不符合要求。

此時，你應該使用D&C策略（divide and conquer）。包括兩步驟:

(1) 找出基線條件，這種條件必須儘可能簡單。

(2)不斷將問題分解（或者說縮小規模），直到符合基線條件。

下面就來使用D&C找出問題的解決方案。首先，找出基線條件。最容易處理的情況是，一條邊的長度是另一邊的整數倍。

現在找出遞迴條件，這正是D&C的用武之地。每次遞迴都必須縮小問題的規模，如何縮小問題的規模呢，首先，找出這塊地可容納的最大方塊。

如圖，劃出了兩個方塊，同時餘下一小塊地。現在是頓悟時刻，何不對餘下的那一小塊地使用相同的演算法呢？

這裡有一個關鍵的地方，就是適用於這小快地的最大方塊，也是適用於整塊地的最大方案。感興趣的可以查查歐幾里得演算法。

接下來就是使用同樣演算法。直到餘下土地為方塊。

現在我們找到了最大方塊，如下圖：

2）快速排序

快速排序是一種常用的排序演算法，比選擇排序快得多，例如，C語言標準庫的函式qsort實現的就是快速排序。

對排序演算法來說，最簡單的陣列什麼樣呢？就是根本不需要排序的資料。

因此，基線條件為陣列為空或只包含一個元素

def quicksort(array):
    if len(array) < 2:
        return array

我們來看更長的陣列。對包含兩個元素的陣列進行排序也很容易：

包含三個元素呢？

現在介紹快速排序的工作原理：首先，從陣列中選擇一個元素，這個元素被稱為基準值(pivot).

我們暫時將陣列的第一個元素用作基準值.接下來，找出比基準值小的元素以及比基準值大的元素。

這被稱為分割槽(partitioning)。這裡只進行了分割槽，得到的兩個子陣列是無序的。如何對子陣列進行排序呢？對於包含兩個元素的陣列以及空陣列，快速排序知道如何將它們排序。因此對這兩個子陣列進行快速排序，再合併結果，就得到一個有序陣列！

quicksort([15, 10]) + [33] + quicksort([])
> [10, 15, 33]

現在我們知道了如何對包含三個元素的陣列進行排序了：

（1）選準基準值。

（2）將陣列分成兩個子陣列：小於基準值的元素和大於基準值的元素。

（3）對這兩個子陣列進行快速排序。

下面是快速排序的程式碼：

def quicksort(array):
    if len(array) < 2:
        return array
    else:
        pivot = array[0]
        less = [i for i in array if i<= pivot]
        greater = [i for in array if i > pivot]
        return quicksort(less) + [pivot] + quicksort(greater)

3) 再談大O表示法

我們再來看看常見的大O執行時間：

這裡需要說明的是，在平均情況下，快速排序的執行時間為O(n logn)。

快速排序的效能高度依賴於你選擇的基準值。來看下面這樣一個有序陣列，每次都選擇第一個元素為基準值，來看看快速排序過程，

現在選擇中間元素作為基準值，看看排序過程：

第一個示例展示的是最糟情況，棧長為O(n)，第二個示例展示的是最佳情況，棧長為O(log n)。與此同時，在呼叫棧的每層都涉及全部8個元素，運算元為O(n)。

現在可以得出快速排序的執行時間為O(n logn)（最佳情況），最佳情況也是平均情況。

4）小結

• D&C將問題逐步分解，使用D&C處理列表時，基線條件很可能是空陣列或只包含一個元素的陣列；
• 實現快速排序時，請隨機選地選擇用做基準值的元素，快速排序的平均執行時間為O(n log n);
• 大O表示法中的常量有時候事關重大，這就是快速排序比合並排序快的原因所在；
• 比較簡單查詢和二分查詢時，常量幾乎無關緊要，因為列表很長時，O(log n)的速度為O(n)塊很多。