歸併排序之神奇的逆序對

文章包含四部分

歸併排序的實現（略講）
歸併排序求逆序對
歸併排序例題詳講
樹狀陣列和歸併排序求逆序對的區別

關於歸併排序的實現

歸併排序主要分為兩大步:

1.分解

2.合併

關於歸併排序的具體原理請自行百度. 這裡只略講一下歸併排序的程式碼實現方式

分解

我們採用二分遞迴的方式處理

合併

我們採用三個指標來實現

板子題：快速排序

Code:

#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;

const int N=100000+5;

int n;
int a[ 
N];//需要排序的陣列 
int r[N];//用來輔助排序的陣列 

void msort(int s,int t)
{
    if(s==t) return;//如果只有一個數就返回 
    int mid=(s+t)/2;
    //遞迴分解 
    msort(s,mid);//分解左邊 
    msort(mid+1,t);//分解右邊 
    int i=s,j=mid+1,k=s;
    //合併左右序列 
    while(i<=mid && j<=t) //正常排序合併 
    { 
        if(a[i]<=a[j]) {r[k]=a[i];k++ 
;i++;}
        else {r[k]=a[j];k++;j++;}
    }
    while(i<=mid){r[k]=a[i];k++;i++;}//複製排序後左邊子序列剩餘 
        
    while(j<=t){r[k]=a[j];k++;j++;}//複製排序後右邊子序列剩餘
        
    for(int i=s;i<=t;i++)
        a[i]=r[i];//更新a陣列 
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf 
("%d",&a[i]);
    msort(1,n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%d ",a[i]);
    
    return 0;
}

測試結果:

第一個是 $STL$ 裡的 $sort$ 第二個是開了 $O2$ 的 $sort$ 第三個是手寫的歸併排序

$noip$ 不能開 $O2$

$QwQ$

關於歸併排序求逆序對

模板題

關於逆序的定義：大的數排在小的數前面

當然你也可以用氣泡排序

實現方法:

每次合併的時候,記錄有多少次交換

假定我們要將一串無序數字排成升序(從小到大) 根據歸併排序的原理,每次我們進行合併操作的時候,左邊子序列中小的數都會被合併進輔助陣列。這時如果左邊子序列有數剩餘,則說明這些數都比右邊子序列的數要大,那麼我們可以根據這一點來計算逆序對的個數

核心Code:

while(i<=mid && j<=t)
    {
        if(a[i]<=a[j]) {r[k]=a[i];k++;i++;}
        else {r[k]=a[j];k++;j++;ans+=mid-i+1;}//核心操作
		//mid-i+1即左邊子序列剩餘元素的個數 
    }

其餘部分沒有什麼差別

模板題Code:

#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;

const int N=5e5+5;

long long n,ans;
int a[N];
int r[N];

void msort(int s,int t)
{
    if(s==t) return;
    int mid=(s+t)/2;
    msort(s,mid);
    msort(mid+1,t);
    int i=s,j=mid+1,k=s;
    while(i<=mid && j<=t)
    {
        if(a[i]<=a[j]) {r[k]=a[i];k++;i++;}
        else {r[k]=a[j];k++;j++;ans+=mid-i+1;}//核心操作
		//mid-i+1即左邊子序列剩餘元素的個數 
    }
    while(i<=mid){r[k]=a[i];k++;i++;}
        
    while(j<=t){r[k]=a[j];k++;j++;}
        
    for(int i=s;i<=t;i++)
        a[i]=r[i];
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    msort(1,n);
    printf("%lld",ans);
    
    return 0;
}

歸併排序例題詳講

關鍵詞:

交換序列中相鄰的兩個元素

用最少的交換次數使原序列變成不下降序列

顯然在求逆序對的個數 $QwQ$

套上板子即可

瑞士輪

這裡只用到了歸併排序中的合併操作

分析:

每組比賽的勝者：賽前，總分是按降序排的；獲勝後都得1分，仍是降序；

每組比賽的負者：賽前，總分是按降序排的；不得分，仍是降序。

先按初始分數排序，然後按分數高低兩人一組比賽；

勝者入隊 $A$ ，負者入隊 $B$ 。這樣 $A$ 、 $B$ 自身仍是有序的；

只需進行合併操作即可，合併操作的複雜度是 $O(n)$ ,而如果用快排其複雜度為 $O(nlogn)$

Code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N=1e5+5;

int n,r,q;
struct fengzi
{
    int id,sorce,power;
}m[2*N],x[2*N],y[2*N];
//m是選手,x是勝利者,y是失敗者 
bool cmp(fengzi a,fengzi b)
{
    if(a.sorce>b.sorce) return 1;//依題意從高到低排序 
    if(a.sorce==b.sorce && a.id<b.id) return 1;//處理特殊情況 
    return 0;
}

//合併操作
void merge()
{
    int i=1,j=1,cnt=0;
    while(cnt<=2*n)
    {
        if(i>n)
        {
            while(j<=n){m[++cnt]=y[j];j++;}
            break;
        }
        if(j>n)
        {
            while(i<=n){m[++cnt]=y[i];i++;} 
            break;
        }
        if(x[i].sorce>y[j].sorce || (x[i].sorce==y[j].sorce && x[i].id<y[j].id))//依題意更新排名 
            m[++cnt]=x[i++];
        else m[++cnt]=y[j++];
    }
 } 

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&r,&q);
    for(int i=1;i<=2*n;i++)
    {
        scanf("%d",&m[i].sorce);//得分 
        m[i].id=i;//編號 
    }
    for(int i=1;i<=2*n;i++)
        scanf("%d",&m[i].power);//實力值 
    sort(m+1,m+1+2*n,cmp);//排序 
    for(int qwq=1;qwq<=r;qwq++)//列舉每場比賽 
    {
        int i=0,j=0;
        for(int ppp=1;ppp<=n;ppp++)//列舉每組選手 
        {
            int pos=2*ppp;
            if(m[pos-1].power>m[pos].power)//如果該組中的第一個選手比第二個選手強 
            {
                m[pos-1].sorce++;//第一個選手的分數+1 
                x[++i]=m[pos-1];//第一個選手分到勝利者的隊伍 
                y[++j]=m[pos];//第二個選手分到失敗者的隊伍 
            }
            else
            {
                m[pos].sorce++;
                x[++i]=m[pos];
                y[++j]=m[pos-1];
            }
        }
        merge();//合併勝利者和失敗者,更新  新的排名 
    }
    printf("%d",m[q].id);
    return 0;
}

火柴排隊

分析:

由數學知識可知,要使$ \sum (a_i-b_i)^2 $最小我們就要使每一個$ a_i-b_i$最小

也就是說, $a$ 中第 $k$ 小的數要和 $b$ 中第 $k$ 小的數排在一個位置

依據這個思想,我們可以新建一個數組 $x$ 這個陣列的下標是 $a$ 陣列中第 $k$ 小的數在原序列中的編號這個陣列中存的是 $b$ 陣列中第 $k$ 小的數在原序列中的編號

例如:

$a$ 的原始序列為 $5,3,1,2,6$ $b$ 的原始序列為 $7,2,9,3,1$ 把兩個序列從小到大排序後, $a$ 序列為 $1,2,3,5,6$ $b$ 序列為 $1,2,3,7,9$ 我們假定此時的 $k$ 為3 $a$ 序列中第 $3(k)$ 小的數的原始編號就是 $2$ $b$ 序列中第 $3(k)$ 小的數的原始編號就是 $4$

那 $x[3]=4$

顯然,這個陣列的特性就是,如果 $x[i]=i$ 那麼此時, $a$ 序列中第k小的數就和 $b$ 序列中的第 $k$ 小的數,一一對應了,即原始序列時,就有 $a_i-b_i$ 最小。

然後,我們的目標是,將 $x$ 陣列升序排列,求出交換的次數,這不就轉換成求逆序對了…

Code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int mod=99999997;
const int N=100000+5;

int n,ans,cnt;

struct team
{
    int id,hight;//id是原始編號,hight是高度 
}a[N],b[N];
int x[N],y[N];
//x待排序的陣列
//y是輔助陣列 

bool cmp(team a,team b)
{
    return a.hight<b.hight;//先按高度排序 
}

void merge(int l,int r)
{
    if(l 
 
              
           
              
              
            
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    【模板】歸併排序（+求逆序對）
      沒有網址qwq 
沒有oj 
翻樹狀陣列看到求逆序對先複習一下歸併求逆序對qwq 
逆序對真是個神奇的東西啊QAQ 
純屬隨手一打隨手一貼quq 
 
  1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 using namespace std 

  
 

    

    
    歸併排序之神奇的逆序對
      
								
								            
							
							
							文章包含四部分


歸併排序的實現（略講）


歸併排序求逆序對


歸併排序例題詳講


樹狀陣列和歸併排序求逆序對的區別





關於歸併排序的實現


歸併排序主要分為兩大步:

1.分解
2. 

  
 

    

    
    歸並排序&&逆序對（codves1688，4163）
      如果   排序   範圍   eight   註意   sam   def   序列   pad   歸並排序
歸並排序采用的是分治的思想
1、劃分問題：把序列分為元素個數盡量相等的兩半
2、遞歸求解：把兩半分別排序
3、合並問題：把兩個有序的序列合並為一個
對於第三個問題，我們可以從兩個序列中最小的元素開始 

  
 

    

    
    [PHP] 算法-數組歸並排序並計算逆序對的個數的PHP實現
      sep   可能   ret   sort   輸入一個數   data   UNC   總數   fun   
在數組中的兩個數字，如果前面一個數字大於後面的數字，則這兩個數字組成一個逆序對。輸入一個數組,求出這個數組中的逆序對的總數P。並將P對1000000007取模的結果輸出。 即輸出P%1000000 

  
 

    

    
    歸併排序（包含逆序數對的個數51Nod1019）
       
 
 
 歸併排序是效率很好的排序方式，和快排效率一樣高，但在穩定性上優於快排，下面我們來介紹歸併排序。
 歸併排序運用遞迴將序列不斷二分（其原理就是分治），就像一棵樹不斷向下分支，最後分到只剩一個元素，這樣這個元素就可當做有序的，因為只有一個元素嘛。然後是合併，怎麼分出來就怎麼合併回去，不過既然是排序， 

  
 

    

    
    (應用排序演算法程式設計7.2.1)UVA 10327  Flip Sort(使用氣泡排序來求逆序對)
      
								
								            
						
                
/*
 * UVA_10327.cpp
 *
 *  Created on: 2013年11月1日
 *      Author: Administrator
 */

#include <io 

  
 

    

    
    二分歸併排序之求逆序數
      
								
								            
						
                


求排列的逆序數


題目內容：在Internet上的搜尋引擎經常需要對資訊進行比較，比如可以通過某個人對一些事物的排名來估計他（或她）對各種不同資訊的興趣，從而實現個性化的服務。

對於不同的排名 

  
 

    

    
    歸並排序 之 逆序對
      --   組成   public   排序。   size   做到   int   cnblogs   進行   1. 歸並排序
  
 
 
 要點：
歸並排序是建立在歸並操作的一種有效的算法，該算法是采用 分治法 的典型應用。
 基本思想：
（1）分解：將序列每次折半劃分成兩個數組，直到劃 

  
 

    

    
    逆序對的三種求法(歸併排序，樹狀陣列，線段樹)
      求逆序對個數的三種方法 
逆序對: 對於一個序列 $a_1$,$a_2$,$a_3$..$a_n$,如果存在$a_i$>$a_j$且i<j,則$a_i$和$a_j$為一個逆序對。 
這裡將介紹3種求逆序對對數的方法。 在此之前，預設為你已經會了歸併排序，樹狀陣列和線段樹。（不會的可以百度學習一下） 

  
 

    

    
    【模板】歸併排序求逆序對
      歸併排序求逆序對 
 
  1 #include <iostream>
 2 #include <algorithm>
 3 #include <cstring>
 4 #include <cstdio>
 5 
 6 typedef long lon 

  
 

    

    
    洛谷P1908歸併排序求逆序對
       
 
 #include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;

int n,a[500010],c[500010];
ll ans=0;

void msort(int b 

  
 

    

    
    求逆序對 - 歸併排序
       
 
 題目連線：http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1311 
 n開到1e5的話，硬剛肯定是要超時的，所以可以用歸併排序，並在排序的時候求出結果，其特點如下： 
 在每次合併兩個子陣列的時候，這兩個子陣列都已經是有序的啦 
 然後若a[i]> 

  
 

    

    
    【劍指offer】陣列中的逆序對（校正書上錯誤）【歸併排序】
       
 
  
  
 題目描述 在陣列中的兩個數字，如果前面一個數字大於後面的數字，則這兩個數字組成一個逆序對。輸入一個數組,求出這個陣列中的逆序對的總數P。並將P對1000000007取模的結果輸出。 即輸出P%1000000007 
  
  題目保證輸入的陣列中沒有的相同的數字 
  
 資料範圍： 
 

  
 

    

    
    【歸併排序,同步指標】陣列中的逆序對,兩個連結串列的第一個公共結點
      
								
								            
							
							
							面試題51:陣列中的逆序對

在陣列中的兩個數字如果前面一個數字大於後面的數字，則這兩個數字組成一個逆序對。輸入一個數組，求出這個陣列中的逆序對的總數。

分成長度1的子陣列，在合併之前統計相鄰子陣列之 

  
 

    

    
    求逆序對個數的三種方法(歸併排序，樹狀陣列，權值線段樹)
      
							
							
							求逆序對個數的三種方法
逆序對: 對於一個序列 a1a_1a1,a2a_2a2,a3a_3a3…ana_nan,如果存在aia_iai>aja_jaj且i<j,則aia_iai和aja_jaj為一個逆序對。
這裡將介紹3種求逆序對對數 

  
 

    

    
    歸併排序(求逆序對)
      
                

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void merge(int a[],int first,int mid,int last,int temp[])
{
	int i=first,j=mid+1;
	in 

  
 

    

    
    二分歸併 排序 求逆序對
       
 
 題目：The Number of Inversions 
 題面： 
 For a given sequence , the number of pairs  where  and , is called the number of inv 

  
 

    

    
    [數算MOOC]求逆序對（歸併排序）
      
                
首先介紹歸併排序，它是指對一個數組，劃分為兩個。對兩個陣列分別排序，兩個陣列排序好後合併。
合併的過程為：從兩個陣列取第一個數，下標i，j，比較，數值比較小的複製到一個輔助陣列中，然後下標++即可。如果有一個數組提前結束，把另外一個數組複製到輔助陣列中。然後把輔助陣列複製給 

  
 

    

    
    HDU 2689 Sort it 歸併排序求逆序對
      
                
題目連結：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2689
思路：就是歸併排序啦。在歸併排序的同時，記錄逆序對就行了。時間複雜度即為歸併排序的複雜度：O(N log N)。
程式碼：
#include<iostream> 

  
 

    

    
    歸併排序演算法與求逆序對思路及Java實現
       
 
 1.歸併排序演算法思路 
  
  
 首先我們要清楚，歸併排序演算法採用了分治法的思想，即將原問題分解為幾個規模較小但類似於原問題的子問題，遞迴地求解這些子問題，然後再合併這些子問題的解來建立原問題的解。歸併排序首先將排序分成兩部分，接著再將這兩部分分解成更小的兩部分，直到分解到只剩一個元素為止。

歸併排序之神奇的逆序對

文章包含四部分

歸併排序的實現（略講）

歸併排序求逆序對

歸併排序例題詳講

樹狀陣列和歸併排序求逆序對的區別

關於歸併排序的實現

歸併排序主要分為兩大步:

1.分解

2.合併

分解

合併

板子題：快速排序

Code:

測試結果:

noipnoipnoip不能開O2O2O2

關於歸併排序求逆序對

關於逆序的定義：大的數排在小的數前面

當然你也可以用氣泡排序

實現方法:

核心Code:

其餘部分沒有什麼差別

模板題Code:

歸併排序例題詳講

關鍵詞:

交換序列中相鄰的兩個元素

用最少的交換次數使原序列變成不下降序列

顯然在求逆序對的個數QwQQwQQwQ

套上板子即可

這裡只用到了歸併排序中的合併操作

分析:

Code:

分析:

也就是說,aaa中第kkk小的數要和bbb中第kkk小的數排在一個位置

例如:

那x[3]=4x[3]=4x[3]=4

顯然,這個陣列的特性就是,如果x[i]=ix[i]=ix[i]=i那麼此時,aaa序列中第k小的數就和bbb序列中的第kkk小的數,一一對應了,即原始序列時,就有ai−bia_i-b_iai​−bi​最小。

然後,我們的目標是,將xxx陣列升序排列,求出交換的次數,這不就轉換成求逆序對了…

Code:

相關推薦

$noip$ 不能開 $O2$

顯然在求逆序對的個數 $QwQ$

也就是說, $a$ 中第 $k$ 小的數要和 $b$ 中第 $k$ 小的數排在一個位置

那 $x[3]=4$

顯然,這個陣列的特性就是,如果 $x[i]=i$ 那麼此時, $a$ 序列中第k小的數就和 $b$ 序列中的第 $k$ 小的數,一一對應了,即原始序列時,就有 $a_i-b_i$ 最小。

然後,我們的目標是,將 $x$ 陣列升序排列,求出交換的次數,這不就轉換成求逆序對了…