1. 歸並排序

要點：

歸並排序是建立在歸並操作的一種有效的算法，該算法是采用 分治法 的典型應用。

基本思想：

（1）分解：將序列每次折半劃分成兩個數組，直到劃分成每個元素一個數組

（2）合並：將劃分後的序列段兩兩合並後排序。

2.逆數對問題

在數組中的兩個數字，如果前面一個數字大於後面的數字，則這兩個數字組成一個逆序對。輸入一個數組,求出這個數組中的逆序對的總數P。並將P對1000000007取模的結果輸出。 即輸出P%1000000007
輸入描述:
題目保證輸入的數組中沒有的相同的數字

數據範圍：

    對於%50的數據,size<=10^4

    對於
 
%75的數據,size<=10^5

    對於%100的數據,size<=2*10^5
例如：
輸入：1,2,3,4,5,6,7,0
輸出：7

我們可以發現，其實就是要找 每個數的左邊的比他大的數一共有多少個？

（1）第一想法：兩個for循環可以解決問題，時間復雜度 O(N^2),空間復雜度 O(1)。那麽能做到時間更短嗎？

（2）第二種做法：既然要找左邊的比當前數大的一共有多少個，那麽歸並排序過程中正好是比較左右兩邊的大小，那我們在這個過程中順便統計下左邊比右邊大的數量。

正如上圖所示：

（1）a,b兩步是對數組進行分解

（2）c,d兩步將數組進行合並，我們可以再這個過程中統計 左邊比右邊數大的個數。

我們在統計過程中，將已經合並的按照從小到大的過程進行排序，在合並的過程中，我們只用統計左邊一段，對於右邊一段中每個數產生的逆序對即可，因為不論左邊這段，還是右邊這段，在生成的過程中都是 由 更小的兩個小段 合並而成的，在這個過程中已經統計過了產生的逆序數。

我們圖解一次，統計逆序數量的合並過程。

（1）左右兩個子數組的最後邊出發，取出 7， 6，發現7>6說明，7可以對 4，6產生逆數對，即：左邊這個數 可以對 右邊 沒有遍歷到的其他數均會產生 逆數對，因為 他比這些數都要大，統計 逆數對數量，7放入copy

（2）然後左邊指針 往前走一步，取出:5，6，對於6來說沒有產生逆數對且不能確定6前面的數是否會產生的逆數對，所以將6復制到copy中，

（3）右邊指針往前走一步，取出：5，4，則5對於 右邊沒有遍歷過的數（也就是4和4前面的數）都會產生逆數對，進行統計，然後，將5放入copy

（4）此時 左邊數組元素全部遍歷完成，右邊的剩余元素 全部放入到copy中，此時copy按從小到大排序完成，逆數對統計完成。

class Solution {
public:
    int InversePairs(vector<int> data) {
        //0個或者1個
        if(data.size() == 0 || data.size() == 1) {
            return 0;
        }
        vector<int> copy = data;
        return sortMergeGetValue(data, copy, 0, data.size() - 1) % 1000000007;
    }
    
    long sortMergeGetValue(vector<int>& data, vector<int>& copy, long l, long r) {
        if(l >= r) {
            return 0;
        }
        //遞歸調用 歸並排序
        long mid = (l + r) /2;
        long leftCounts = sortMergeGetValue(copy, data, l, mid);
        long rightCounts = sortMergeGetValue(copy, data, mid + 1, r);
        
        long count = 0;
        long i = mid;  //左半端最後面
        long j = r;  //右半段最後面
        long index = r; //copy數組最右邊
        
        //當左右半段還沒有合並完成時，使用while循環
        while(i >= l && j > mid) {
            //判斷左半段 節點是不是 大於 右半段節點,說明左半段這個節點對於 右半段 對應節點 的前面所有節點 都會產生逆數對
            if(data[i] > data[j]) {
                count += (j - mid);
                copy[index--] = data[i--];
            } else {
                copy[index--] = data[j--];
            }
        }
        
        //如果左半段沒有合並完
        for(; i>= l; i--) {
            copy[index--] = data[i];
        }
        
        //右半段沒有合並完
        for(; j > mid; j--) {
            copy[index--] = data[j];
        }
        
        return count+ leftCounts + rightCounts;
    }
};

算法復雜度：

時間復雜度：O(N*Log(N))

空間復雜度：O(N)

歸並排序 之 逆序對