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【離散時間訊號】多項式模型的 $z$ 變換

阿新 • • 發佈：2018-12-19

假設一個物體做直線運動，利用多項式模型描述運動，並且初速度為 Ω0\Omega_0，初始加速度為 Λ0\Lambda_0，初始加加速度為 J0J_0，更高階的引數不描述。則取樣後的運動可以描述為 x(k)=Ω0kTs+12Λ0(kTs)2+16J0(kTs)3, k>0x(k)=\Omega_0kT_s+\frac{1}{2}\Lambda_0(kT_s)^2+\frac{1}{6}J_0(kT_s)^3,\,k>0

對於 zz 變換有 (1) 階躍函式的變換 u(k

)↔Z11−z−1u(k)\xleftrightarrow{\mathcal{Z}} \frac{1}{1-z^{-1}} (2) 微分性質 kx(k)↔Z−zdX(z)dzkx(k)\xleftrightarrow{\mathcal{Z}}-z\frac{\mathrm{d}{X(z)}}{\mathrm{d}z}

因此，對於運動的表示式，有 ku(k)=z−1(1−z−1)2=z(z−1)2ku(k) = \frac{z^{-1}}{(1 - z^{-1})^2}=\frac{z}{(z-1)^2}

−1​=(z−1)2z​k2u(k)=z−1(1+z−1)(1−z−1)3=z(z+1)(z−1)3 k^2u(k)=\frac{z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^3}=\frac{z(z+1)}{(z-1)^3}k3u(k)=z−1(1+4z−1+z−2)(1−z−1)4=z(z2+4z+1)(z−1)4 k^3u(k)=\frac{z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^4}=\frac{z(z^2+4z+1)}{(z-1)^4} 得到運動方程的 zz 變換為 X(z)=Ω0Tsz(z−1)2+12Λ0Ts2z(z+1)(z−1)3+16J0Ts3z(z2+4z+1)(z−1)4X(z)=\Omega_0T_s\frac{z}{(z-1)^2}+\frac{1}{2}\Lambda_0T_s^2\frac{z(z+1)}{(z-1)^3}+\frac{1}{6}J_0T_s^3\frac{z(z^2+4z+1)}{(z-1)^4}

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