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[Matlab科學計算] 1.你想要了解的尤拉角

阿新 • • 發佈：2018-12-19

[問題由來]

       在計算鐵磁材料多晶體的有效模量時，需要考慮晶粒在多晶體中的方向分佈，一般用三個尤拉角（\psi ，\theta ，\phi, \theta, \phi）來表示晶粒在多晶體中的方向，用方向分佈函式W\left ( \psi ,\theta ,\phi \right )來表示某個方向的分佈密度。基於此，迫使我要掌握尤拉角，但是在閱讀眾多教材和部落格文章中發現，大家對尤拉角的說法不是很統一，所以，基於我的理解整一下尤拉角的相關概念及使用注意事項。

一、幾個概念

1.1經典尤拉角(Proper Euler angles)和泰勒布萊恩角(Tait-Bryan angles)

       這兩種尤拉角是按照旋轉軸的順序定義的，經典尤拉角是按照Z-X-Z，Y-X-Y，X-Y-X，Z-Y-Z，X-Z-X，Y-Z-Y這樣的軸序旋轉，即第一個旋轉軸和最後一個旋轉軸相同；而泰勒布萊恩角是按照X-Y-Z，Y-Z-X，Z-X-Y，X-Z-Y，Z-Y-X，Y-X-Z這樣的軸序旋轉，即每次旋轉軸都不相同。

1.2內在旋轉(intrinsic rotations)和外在旋轉(extrinsic rotations)

        這兩個概念通過下圖進行說明：即內在旋轉每次旋轉圍繞的軸是上次旋轉之後座標系的某個軸，外在旋轉每次旋轉的軸是固定座標系中的軸。

Fig. 1 內在旋轉
Fig. 2 外在旋轉

內在旋轉與外在旋轉的轉換關係：互換第一次和第三次旋轉的位置則兩者結果相同。例如Z-Y-X旋轉和內部旋轉和X-Y-Z旋轉的外部旋轉的旋轉矩陣相同。

1.3旋轉矩陣（很重要）

主動旋轉和被動旋轉：主動旋轉是指將向量或座標系逆時針圍繞旋轉軸旋轉，被動選是對座標軸進行的逆時針旋轉，相當於主動旋轉的逆操作。

旋轉矩陣有二維旋轉和三維旋轉，研究需要這裡僅討論三維旋轉（被動旋轉）。

Fig. 3 繞Z軸旋轉θ角

       假設OP為單位向量且在XY平面內，則OP向量在O-XYZ座標系中座標為\left ( cos\alpha ,sin\alpha ,0 \right )，在新座標系O-X’Y’Z’中的座標為​​​​​​​\left ( cos\left ( \alpha -\theta \right ),sin\left ( \alpha -\theta \right ),0 \right ),展開之後為​​​​​​​\left ( cos\alpha cos\theta +sin\alpha sin\theta ,sin\alpha cos\theta -cos\alpha sin\theta ,0 \right )，寫成矩陣的形式如下：

                                                                          \left [ \begin{matrix} x{}'\\ y{}'\\ z{}' \end{matrix} \right ]=\begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta & 0\\ -sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}

將上式中的3*3的變換矩陣稱為旋轉矩陣。從Fig. 3中可以看出，被動旋轉相當於將向量OP繞Z軸主動順時針旋轉θ角。

同理，可以得到繞X軸和繞Y軸被動旋轉

的旋轉矩陣，如下所示：

                                                R_x\left ( \theta \right )=\begin{bmatrix} 1 & 0& 0\\ 0& cos\theta & sin\theta \\ 0& -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}, R_{y}\left ( \theta \right )=\begin{bmatrix} cos\theta & 0& -sin\theta \\ 0& 1& 0\\ sin\theta & 0 &cos\theta \end{bmatrix}

相應的向量繞座標軸主動旋轉的旋轉矩陣如下所示：

                        R_{z}\left ( \theta \right )=\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0\\ sin\theta & cos\theta &0 \\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix},  R_{x}\left ( \theta \right )=\begin{bmatrix} 1 & 0& 0\\ 0& cos\theta & -sin\theta \\ 0& sin\theta & cos\theta \end{bmatrix},  R_{y}\left ( \theta \right )=\begin{bmatrix} cos\theta & 0 & sin\theta \\ 0& 1 & 0\\ -sin\theta & 0 & cos\theta \end{bmatrix}

二、舉例計算

Fig. 4 尤拉角示例

計算旋轉矩陣一定要明確旋轉順序和旋轉模式（內在旋轉還是外在旋轉，主動旋轉還是被動旋轉），由於內在旋轉易於圖解表達，通常使用內在旋轉說明。如圖4所示，旋轉順序為Z-X-Z的被動內在旋轉。假設向量OP在O-xyz座標系中的座標為OP0=（x, y, z）,在O-XYZ座標系中的座標為OP=（X, Y, Z）,分解計算步驟如下：

  1. 繞Z軸旋轉之後的座標為OP_{1}=R_{z}\left ( \alpha \right )\cdot OP_{0}；
  2. 繞第一次旋轉之後的X座標旋轉之後的座標為OP_{2}=R_{x}\left ( \beta \right )\cdot OP_{1}；
  3. 繞第二次旋轉之後的Z座標旋轉之後的座標為OP_{3}=R_{z}\left ( \gamma \right )\cdot OP_{2}；

可以得到OP向量在新座標系中的座標與在舊座標系中的座標之間的關係為 OP=R_{z}\left ( \gamma \right )R_{x}\left ( \beta \right )R_{z}\left ( \alpha \right )\cdot OP_{0}，所以總的旋轉矩陣為T=R_{z}\left ( \gamma \right )R_{x}\left ( \beta \right )R_{z}\left ( \alpha \right )，採用Matlab的符號計算可以得到該旋轉矩陣的展開形式。為了便於Matlab中書寫，令\alpha =a，\beta =b，\gamma =c。

Matlab程式碼：

syms a b c
Rza = [cos(a) sin(a) 0;-sin(a) cos(a) 0;0 0 1];
Rxb = [1 0 0;0 cos(b) sin(b);0 -sin(b) cos(b)];
Rzc = [cos(c) sin(c) 0;-sin(c) cos(c) 0;0 0 1];
T = Rzc*Rxb*Rza;
disp(T);

計算結果：

[ cos(a)*cos(c) - cos(b)*sin(a)*sin(c), cos(c)*sin(a) + cos(a)*cos(b)*sin(c), sin(b)*sin(c)]
[-cos(a)*sin(c) - cos(b)*cos(c)*sin(a), cos(a)*cos(b)*cos(c) - sin(a)*sin(c), cos(c)*sin(b)] 
[               sin(a)*sin(b),                     -cos(a)*sin(b),                   cos(b)]

三、在晶體織構學中的應用

Fig. 5 晶粒座標系o-XYZ在試樣（多晶體）座標系o-xyz中的表示

根據尤拉角\psi ,\theta ,\phi，可以得到旋轉矩陣為：

T\left ( \psi ,\theta ,\phi \right )=R_{z}\left ( \phi \right )R_{y}\left ( \theta \right )R_{z}\left ( \psi \right ) =\begin{bmatrix} cos\psi cos\theta cos\phi -sin\psi sin\phi & sin\psi cos\theta cos\phi +cos\psi sin\phi & -sin\theta cos\phi \\ -cos\psi cos\theta sin\phi -sin\psi cos\phi & -sin\psi cos\theta sin\phi +cos\psi cos\phi &sin\theta sin\phi \\ cos\psi sin\theta & sin\psi sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}

Fig. 6 某單位向量ri在晶粒座標系中的表示
Fig. 7 同一單位向量在試樣座標系中的表示

根據旋轉變換，則有如下公式：

                                                             \begin{bmatrix} sin\Theta _{i}cos\Phi _{i}\\ sin\Theta _{i}sin\Phi _{i}\\ cos\Theta _{i} \end{bmatrix}=T\left ( \psi ,\theta ,\phi \right )\begin{bmatrix} sin\chi _{i}cos\eta _{i}\\ sin\chi _{i}sin\eta _{i}\\ cos\chi _{i} \end{bmatrix}

進而，得到晶粒座標系C中的向量在試樣座標系S中的表達：

                                                            \begin{bmatrix} sin\chi _{i}cos\eta _{i}\\ sin\chi _{i}sin\eta _{i}\\ cos\chi _{i} \end{bmatrix}=T^{-1}\left ( \psi ,\theta ,\phi \right )\begin{bmatrix} sin\Theta _{i}cos\Phi _{i}\\ sin\Theta _{i}sin\Phi _{i}\\ cos\Theta _{i} \end{bmatrix}

假設所有晶粒在試樣中的方向分佈函式（ODF）為W\left ( \psi ,\theta ,\phi \right )，而且有 \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\pi }\int_{0}^{2\pi }W\left ( \psi ,\theta ,\phi \right )sin\theta d\psi d\theta d\phi =1，多晶體中常計算等效彈性剛度張量（四階張量），所以得出，一個在試樣座標系S中的四階張量 \Omega _{mnpq}^{S}能夠從晶粒座標系C中的\Omega _{mnpq}^{C}計算得到，

                                                                       \Omega _{ijkl}^{S}=T_{im}T_{jn}T_{kp}T_{lq}\Omega _{mnpq}^{C}

四階張量\Omega的體積平均變成取向平均，計算方法如下：

                                       \left \langle \Omega \right \rangle=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\pi }\int_{0}^{2\pi }\Omega ^{S}\left ( \psi ,\theta ,\phi \right )W\left ( \psi ,\theta ,\phi \right )sin\theta d\psi d\theta d\phi

四、由旋轉前後的向量值計算旋轉矩陣（擴充套件）

  1. 兩個向量點乘計算夾角；
  2. 兩個向量叉乘計算旋轉軸；
  3. 利用羅德里格旋轉公式（Rodrigues' rotation formula）計算旋轉矩陣；

這不詳細內容和計算步驟以及程式見參考資料4.

致謝

感謝所有參考的部落格作者！

參考資料

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