遊戲描述：

有兩人X和Y，遊戲之前兩人分別擁有籌碼x個和y個，兩人開始進行每人獲勝概率都是50%的比拼，如果X贏了，並且之前x>=y,那麼遊戲結束，X獲勝；如果X贏了，但是之前x<y,則X的籌碼翻倍，變成2x，Y的籌碼變成y-x，遊戲繼續； 問：當x,y取不同值時，X的獲勝概率分別是多少。

什麼是蒙特卡洛方法

• 蒙特卡羅（Monte Carlo）方法：用統計結果去計算頻率，從而得到真實值的近似值。
• 一個簡單例子： 比如你有一枚硬幣，想計算扔硬幣正面朝上的概率，那你可以仍很多次（例如100000次），記錄正面朝上的次數（比如50012次），最終可得到正面朝上概率=正面朝上次數/總次數=50012/100000=50.012%。
• 扔100000次硬幣想想就很痛苦，不過沒關係，我們現在可以利用計算機幫助我們模擬大量的隨機實驗

解題思路：

1. 首先構造一個雙方獲勝概率分別是50%的比拼： X和Y分別取0到1之間的一個隨機數，若x_score>y_score,則X獲勝，若y_score>x_score,則Y獲勝，那麼這個比拼中X和Y的獲勝概率都是50%；
2. 對某個特定的x和y值，模擬一次遊戲，待遊戲結束，如果X獲勝，則記錄1，如果Y獲勝，則記錄0；
3. 對某個特定的x和y值，模擬100000次遊戲，記錄X獲勝次數（1的個數），計算X獲勝概率。
4. 對於不同的x和y值，進行實驗，得到不同x和y值時X的獲勝概率。
5. 總結規律，X的獲勝概率和初始值x，y的關係是什麼？

用python實現

import numpy as np
import pandas as pd

# 模擬一次遊戲
def match(init_x, init_y):
    x = init_x
    y = init_y
    x_result = None
    while x_result is None:
        if x == 0:
            x_result = 0
        elif y == 0:
            x_result = 1
        else:
            x_score, y_score = np.random.rand(2) # X和Y分別得到一個0到1的隨機數
            if x >= y:
                if x_score > y_score:
                    x_result = 1
                elif x_score < y_score:
                    x = x - y
                    y = y + y
                else:
                    continue
            else:
                if x_score < y_score:
                    x_result = 0
                elif x_score > y_score:
                    y = y - x
                    x = x + x
                else:
                    continue
    return x_result

# 模擬n次遊戲，計算獲勝概率
def simulation_test(x, y, n):
    test_results = []
    for i in range(n):
        r = match(x, y)
        test_results.append(r)
    p = np.mean(test_results)*100
    return p

# x從1到10取值，y從1到10取值，對於不同的(x,y)數值對，計算X獲勝概率
def main():
    results = []
    for x in range(1,11):
        for y in range(1,11):
            x_win_rate = simulation_test(x, y, 100000)
            d = {'x': x, 'y': y, 'x_win_rate': x_win_rate}
            results.append(d)
    df = pd.DataFrame(results, columns=['x','y','x_win_rate'])
    pd.set_option('display.max_rows', None)
    print(df)

if __name__ == "__main__":
    main()
 

執行結果：

大膽假設: P = x/(x+y)?

驗證： x=1, y=2, p=1/3=33.3%,實驗結果33.460%， x=1, y=3, p=1/4=25.0%,實驗結果25.110%， x=1, y=6, p=1/7=14.3%,實驗結果14.293%， x=1, y=8, p=1/9=11.1%,實驗結果11.211%， ......

通過實驗資料驗證，實驗結果確實接近x/(x+y)。

總結規律，找到公式：

X獲勝概率P=x/(x+y)，也就是說獲勝概率等於初始籌碼佔總籌碼的比例。